trong buổi lễ Tuyên dương sinh viên tiêu biểu cuối năm học của trường Đại học Hàng hải VIệt Nam có 4 sinh viên khoa Đóng tàu, 5 sinh viên khoa Máy tàu biển và 6 sinh viên khoa kinh tế. Biết các sinh viên cùng nhau lên nhận thưởng và xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng ngang. Tính xác suất để không một sinh viên khoa đóng tàu nào đứng cạnh nhau

### Bài toán:

Cho 4 sinh viên khoa Đóng tàu, 5 sinh viên khoa Máy tàu biển và 6 sinh viên khoa Kinh tế. Các sinh viên được xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng ngang để nhận thưởng. Tính xác suất sao cho không có bất kỳ sinh viên nào thuộc khoa Đóng tàu đứng cạnh nhau.

### Giải quyết:

1. **Tổng số sinh viên**: 
   Tổng số sinh viên là:
   \[
   4 + 5 + 6 = 15 \text{ sinh viên}.
   \]

2. **Trường hợp không có điều kiện ràng buộc**: 
   Nếu không có bất kỳ ràng buộc nào, số cách sắp xếp ngẫu nhiên 15 sinh viên là:
   \[
   15! \text{ cách}.
   \]

3. **Sắp xếp sinh viên không thuộc khoa Đóng tàu trước**:
   Tổng số sinh viên không thuộc khoa Đóng tàu là \(5 + 6 = 11\) sinh viên. Số cách sắp xếp 11 sinh viên này là:
   \[
   11! \text{ cách}.
   \]

4. **Vị trí để sắp xếp sinh viên khoa Đóng tàu**:
   Khi 11 sinh viên không thuộc khoa Đóng tàu đã được xếp, các sinh viên này sẽ tạo ra 12 khoảng trống (1 khoảng trống giữa hai sinh viên và 1 khoảng ở hai đầu hàng).

   Để đảm bảo rằng không có sinh viên khoa Đóng tàu nào đứng cạnh nhau, 4 sinh viên khoa Đóng tàu phải được sắp xếp vào 4 trong số 12 khoảng trống đó. Số cách chọn 4 vị trí từ 12 khoảng trống là:
   \[
   \binom{12}{4}.
   \]
   Sau đó, số cách sắp xếp 4 sinh viên khoa Đóng tàu vào các vị trí đã chọn là:
   \[
   4!.
   \]

5. **Xác suất**:
   Xác suất để không có sinh viên khoa Đóng tàu nào đứng cạnh nhau là tỉ số giữa số cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu và tổng số cách sắp xếp tất cả sinh viên.

   Số cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu là:
   \[
   11! \times \binom{12}{4} \times 4!.
   \]

   Tổng số cách sắp xếp là:
   \[
   15!.
   \]

   Vậy xác suất là:
   \[
   P = \frac{11! \times \binom{12}{4} \times 4!}{15!}.
   \]

   Do \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12! \), nên ta có thể đơn giản hoá biểu thức:
   \[
   P = \frac{\binom{12}{4} \times 4!}{15 \times 14 \times 13 \times 12}.
   \]

6. **Tính toán cụ thể**:
   \[
   \binom{12}{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495,
   \]
   và
   \[
   4! = 24.
   \]

   Vậy xác suất là:
   \[
   P = \frac{495 \times 24}{15 \times 14 \times 13 \times 12} = \frac{11880}{32760} = \frac{11}{30}.
   \]

### Kết luận:
Xác suất để không có sinh viên khoa Đóng tàu nào đứng cạnh nhau là \( \frac{11}{30} \).

---

**Bạn có muốn giải thích chi tiết hơn về các bước hoặc có bất kỳ thắc mắc nào không?**

### 5 câu hỏi liên quan:
1. Nếu chỉ có 3 sinh viên khoa Đóng tàu, xác suất có thay đổi không?
2. Làm thế nào để tính số hoán vị của 15 sinh viên nếu có yêu cầu thêm về vị trí?
3. Xác suất để 2 sinh viên thuộc cùng một khoa đứng cạnh nhau là bao nhiêu?
4. Nếu tất cả sinh viên phải đứng theo thứ tự khoa, xác suất có còn như vậy không?
5. Có cách nào khác để tính xác suất trong bài toán này không?

**Mẹo**: Trong các bài toán hoán vị, việc giảm dần số lượng biến bằng cách hoán đổi các yếu tố cố định trước có thể giúp đơn giản hoá vấn đề.

Trong buổi lễ Tuyên dương sinh viên tiêu biểu cuối năm học của trường Đại học Hàng hải Việt Nam có 4 sinh viên khoa Đóng tàu, 5 sinh viên khoa Máy tàu biển và 6 sinh viên khoa kinh tế. Biết các sinh viên cùng nhau lên nhận thưởng và xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng ngang. Tính xác suất để không một sinh viên khoa Đóng tàu nào đứng cạnh nhau.

Bài toán xác suất cho 4 sinh viên khoa Đóng tàu, 5 sinh viên khoa Máy tàu biển và 6 sinh viên khoa kinh tế của Đại học Hàng hải Việt Nam. Tính xác suất sao cho không có sinh viên nào thuộc khoa Đóng tàu đứng cạnh nhau với hướng dẫn chi tiết từng bước. Dành cho học sinh cấp 3 lớp 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation