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Vamos a simplificar cada uno de los problemas paso a paso. Empezaré resolviendo uno por uno y proporcionando una explicación detallada.

### a) \((1 + i)(1 + 2i)(2 - i)\)

Este es un producto de tres números complejos. Vamos a resolverlo paso a paso.

1. Primero, multipliquemos \((1 + i)\) y \((1 + 2i)\):
   \[
   (1 + i)(1 + 2i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2i + i \cdot 1 + i \cdot 2i
   \]
   Esto da:
   \[
   = 1 + 2i + i + 2i^2
   \]
   Sabemos que \(i^2 = -1\), entonces:
   \[
   = 1 + 2i + i - 2 = -1 + 3i
   \]

2. Ahora, multipliquemos el resultado anterior por \((2 - i)\):
   \[
   (-1 + 3i)(2 - i) = -1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-i) + 3i \cdot 2 + 3i \cdot (-i)
   \]
   Esto da:
   \[
   = -2 + i + 6i - 3i^2
   \]
   Sabemos que \(i^2 = -1\), entonces:
   \[
   = -2 + i + 6i + 3 = 1 + 7i
   \]

La respuesta a la parte a) es:
\[
\boxed{1 + 7i}
\]

---

### b) \((1 + i)^4 - (1 - i)^4\)

Para resolver esto, primero necesitamos calcular \((1 + i)^4\) y \((1 - i)^4\).

1. **Para \((1 + i)^4\)**:
   Usaremos la fórmula binomial para expandir \((1 + i)^4\):
   \[
   (1 + i)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 1^{4-k} i^k
   \]
   Expandiendo esto da:
   \[
   = 1^4 + 4 \cdot 1^3 \cdot i + 6 \cdot 1^2 \cdot i^2 + 4 \cdot 1 \cdot i^3 + i^4
   \]
   Sabemos que \(i^2 = -1\) y \(i^4 = 1\), entonces:
   \[
   = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4
   \]

2. **Para \((1 - i)^4\)**:
   Similarmente, expandimos \((1 - i)^4\):
   \[
   (1 - i)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 1^{4-k} (-i)^k
   \]
   Esto da:
   \[
   = 1^4 + 4 \cdot 1^3 \cdot (-i) + 6 \cdot 1^2 \cdot (-i)^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-i)^3 + (-i)^4
   \]
   Sabemos que \((-i)^2 = -1\), \((-i)^3 = -i\), y \((-i)^4 = 1\), entonces:
   \[
   = 1 - 4i - 6 + 4i + 1 = -4
   \]

Finalmente, el resultado es:
\[
(1 + i)^4 - (1 - i)^4 = -4 - (-4) = 0
\]

La respuesta a la parte b) es:
\[
\boxed{0}
\]

---

### c) \(1 + \frac{i}{1 + i} \div \frac{1 + i}{1 + i}\)

Primero resolvamos la división de las fracciones:
\[
\frac{i}{1 + i} \div \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{i}{1 + i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{i(1 + i)}{(1 + i)(1 + i)}
\]
Simplificando el numerador y el denominador:
\[
i(1 + i) = i + i^2 = i - 1
\]
Y:
\[
(1 + i)(1 + i) = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i
\]
Entonces, la fracción queda:
\[
\frac{i - 1}{2i}
\]
Dividimos ambos términos por \(2i\):
\[
\frac{i}{2i} - \frac{1}{2i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2i}
\]

Ahora volvamos a la expresión original:
\[
1 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2i}\right) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2i} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2i}
\]

La respuesta a la parte c) es:
\[
\boxed{\frac{3}{2} - \frac{1}{2i}}
\]

---

### d) \(\left[\frac{1 - i}{1 + i} \cdot 2^i\right]^{-3i}\)

Primero simplifiquemos el cociente \(\frac{1 - i}{1 + i}\):

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de \(1 + i\):
\[
\frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1^2 - 2i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i
\]

Ahora sustituimos en la expresión original:
\[
\left[(-i) \cdot 2^i\right]^{-3i}
\]
Esto es:
\[
(-i \cdot 2^i)^{-3i} = (-i)^{-3i} \cdot (2^i)^{-3i}
\]

1. \( (-i)^{-3i} \): Usamos la forma exponencial de los números complejos. Sabemos que \( -i = e^{-i\frac{\pi}{2}} \), entonces:
   \[
   (-i)^{-3i} = \left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{-3i} = e^{-\frac{\pi}{2} \cdot 3} = e^{-\frac{3\pi}{2}}
   \]

2. \( (2^i)^{-3i} \): Usamos propiedades de exponentes:
   \[
   2^i = e^{i\ln(2)}, \quad \text{entonces} \quad (2^i)^{-3i} = e^{i\ln(2) \cdot (-3i)} = e^{3\ln(2)}
   \]

Finalmente:
\[
e^{-\frac{3\pi}{2}} \cdot e^{3\ln(2)} = e^{3\ln(2) - \frac{3\pi}{2}} = e^{3(\ln(2) - \frac{\pi}{2})}
\]

La respuesta a la parte d) es:
\[
\boxed{e^{3(\ln(2) - \frac{\pi}{2})}}
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes 5 preguntas para ampliar lo que hemos cubierto:

1. ¿Cómo se derivan las fórmulas exponenciales para números complejos?
2. ¿Qué métodos se utilizan para simplificar productos de números complejos?
3. ¿Cómo afecta el uso de conjugados en la simplificación de fracciones complejas?
4. ¿Por qué \(i^2 = -1\) es clave en las operaciones con números complejos?
5. ¿Cómo se aplican propiedades logarítmicas en cálculos con exponentes complejos?

**Tip**: Al trabajar con números complejos, el uso de la forma polar o exponencial puede simplificar exponencialmente las operaciones más complicadas, especialmente para raíces y potencias.

Explore step-by-step solutions to complex number expressions, including the expansion and simplification of (1 + i)^4 - (1 - i)^4, products of complex numbers, and operations with fractions. This problem covers key topics such as the binomial theorem, properties of imaginary numbers, and complex number operations.

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