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Vamos resolver a questão passo a passo.

A função fornecida é:
\[
f(x) = x^3 \cdot \ln(x^4)
\]

### Avaliando as proposições:

1. **( ) A função é uma função produto e composta.**
   - A função é produto de duas funções: \( x^3 \) e \( \ln(x^4) \).
   - Além disso, a função \( \ln(x^4) \) é uma composição, já que \( \ln(x^4) = 4\ln(x) \), onde a função logarítmica é aplicada à função potência.
   - **Essa afirmação é verdadeira.**

2. **( ) O método de integração ideal para a função é o método por partes.**
   - Para integrar uma função produto, como \( x^3 \cdot \ln(x^4) \), o método de integração por partes é geralmente adequado, pois envolve a derivação de uma parte e a integração de outra.
   - **Essa afirmação é verdadeira.**

3. **( ) No processo de simplificação da função para o cálculo da integral, temos que \( x^3 \cdot \ln(x^4) = x^3 \cdot 4x - 4x^3 \).**
   - Esta afirmação está incorreta, pois a simplificação de \( \ln(x^4) \) resulta em \( 4\ln(x) \), não em \( 4x \). Além disso, a expressão fornecida na questão não faz sentido matemático.
   - **Essa afirmação é falsa.**

4. **( ) A primitiva de \( f \) é igual a \( \frac{1}{4} \left( x^4 \cdot \ln|x^4| - x^4 \right) + C \).**
   - Vamos verificar a integral de \( f(x) = x^3 \cdot \ln(x^4) \).

   Sabemos que \( \ln(x^4) = 4\ln(x) \). Portanto:
   \[
   f(x) = x^3 \cdot 4\ln(x)
   \]
   Agora, podemos aplicar a integração por partes. Escolhendo:
   - \( u = \ln(x) \), logo \( du = \frac{1}{x}dx \),
   - \( dv = 4x^3dx \), logo \( v = x^4 \).

   A integral de \( f(x) \) seria dada por:
   \[
   \int f(x)dx = x^4 \cdot \ln(x) - \int x^4 \cdot \frac{1}{x}dx = x^4 \cdot \ln(x) - \int x^3 dx = x^4 \cdot \ln(x) - \frac{x^4}{4} + C
   \]
   Logo, a primitiva é \( \frac{1}{4} \left( x^4 \cdot \ln|x^4| - x^4 \right) + C \), que corresponde à proposição.
   - **Essa afirmação é verdadeira.**

### Resposta correta (de cima para baixo):
- **V, V, F, V.**

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Tem alguma dúvida ou quer mais detalhes sobre alguma parte?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. O que é o método de integração por partes?
2. Como funciona a simplificação de uma função composta?
3. Como verificar se uma função é produto de duas funções?
4. Como se realiza a integração de funções logarítmicas?
5. Qual a importância de simplificar a função antes de integrar?

**Dica:** Para integrar funções produto, muitas vezes o método de integração por partes é o mais indicado, pois permite decompor a integral em partes mais simples.

Avalie as proposições com relação à função f(x) = x^3 * ln(x^4), considerando a primitiva.

Nesta questão, avalia-se a primitiva de uma função produto e composta, utilizando conceitos como a regra do produto e o método de integração por partes. A função f(x) = x^3 * ln(x^4) é simplificada e suas proposições são avaliadas como verdadeiras ou falsas.

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