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resuelve los ejercicios del 1 al 11 paso a paso

Voy a resolver los ejercicios del **1 al 11** de la **Práctica N.º 02** paso a paso. Aquí están los detalles:

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### **Ejercicio 1:**
Un automóvil viaja 20.0 km al norte y luego 35.0 km en una dirección 60.0° N del O. Encuentre la magnitud y dirección del desplazamiento resultante.

#### Solución:
1. **Primer vector**:
   - Desplazamiento: \( \vec{d_1} = 20.0 \, \text{km} \) hacia el norte.
   - Componentes:
     \[
     d_{1x} = 0, \quad d_{1y} = 20.0 \, \text{km}
     \]

2. **Segundo vector**:
   - Desplazamiento: \( \vec{d_2} = 35.0 \, \text{km} \) a 60.0° N del O.
   - Componentes usando trigonometría:
     \[
     d_{2x} = -35.0 \times \cos(60°) = -17.5 \, \text{km}
     \]
     \[
     d_{2y} = 35.0 \times \sin(60°) = 30.31 \, \text{km}
     \]

3. **Desplazamiento resultante**:
   - Componente en \(x\): \( d_{rx} = 0 + (-17.5) = -17.5 \, \text{km} \)
   - Componente en \(y\): \( d_{ry} = 20.0 + 30.31 = 50.31 \, \text{km} \)
   - Magnitud del desplazamiento:
     \[
     d_r = \sqrt{(-17.5)^2 + (50.31)^2} = \sqrt{2837.28} \approx 53.28 \, \text{km}
     \]
   - Dirección:
     \[
     \theta = \tan^{-1}\left(\frac{50.31}{-17.5}\right) = -70.64°
     \]
     La dirección es \(70.64°\) N del O.

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### **Ejercicio 2:**
Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km en la dirección 20.0° al N del E. Luego vuela al lago B, a 190 km a 30.0° al N del E del lago A. Determine la distancia y dirección desde el lago B al campo base.

#### Solución:
1. **Primer desplazamiento**:
   - Desplazamiento: \( \vec{d_1} = 280 \, \text{km} \) a \(20.0°\) N del E.
   - Componentes:
     \[
     d_{1x} = 280 \times \cos(20°) = 263.44 \, \text{km}
     \]
     \[
     d_{1y} = 280 \times \sin(20°) = 95.74 \, \text{km}
     \]

2. **Segundo desplazamiento**:
   - Desplazamiento: \( \vec{d_2} = 190 \, \text{km} \) a \(30.0°\) N del E.
   - Componentes:
     \[
     d_{2x} = 190 \times \cos(30°) = 164.54 \, \text{km}
     \]
     \[
     d_{2y} = 190 \times \sin(30°) = 95.0 \, \text{km}
     \]

3. **Desplazamiento resultante**:
   - Componente en \(x\): \( d_{rx} = 263.44 + 164.54 = 427.98 \, \text{km} \)
   - Componente en \(y\): \( d_{ry} = 95.74 + 95.0 = 190.74 \, \text{km} \)
   - Magnitud:
     \[
     d_r = \sqrt{(427.98)^2 + (190.74)^2} = 468.62 \, \text{km}
     \]
   - Dirección:
     \[
     \theta = \tan^{-1}\left(\frac{190.74}{427.98}\right) = 23.98°
     \]
   La dirección es \(23.98°\) N del E.

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### **Ejercicio 3:**
Si \(A\) y \(C\) son puntos medios de los lados de un cuadrado de lado \(L = 5\) m, calcular:
- (a) El módulo de la suma de los tres vectores.
- (b) La dirección.

#### Solución:
Para resolver este problema se necesita la disposición gráfica de los vectores. En función de cómo estén ubicados, se sumarían los vectores y se obtendría su dirección y magnitud, aplicando las reglas de suma vectorial.

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### **Ejercicio 4:**
Dadas las fuerzas en las figuras, determinar:
- (a) Representar gráficamente la fuerza resultante usando el método del paralelogramo y calcular su magnitud.
- (b) Usar el método de la descomposición vectorial para calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante.

#### Solución:
1. **Método del paralelogramo**:
   - Se representa gráficamente cada vector en un sistema de ejes y se construye un paralelogramo con los vectores como lados.
   - La diagonal del paralelogramo es la fuerza resultante.

2. **Descomposición vectorial**:
   - Descomponer cada fuerza en sus componentes \(x\) e \(y\).
   - Sumar las componentes \(x\) y \(y\) para obtener la resultante:
     \[
     F_r = \sqrt{F_{rx}^2 + F_{ry}^2}
     \]
     \[
     \theta = \tan^{-1}\left(\frac{F_{ry}}{F_{rx}}\right)
     \]

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### **Ejercicio 5:**
Dadas las fuerzas en las figuras, determinar:
- (a) La fuerza resultante.
- (b) Magnitud de la fuerza resultante.
- (c) Dirección de la fuerza resultante medida en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje \(x\) positivo.

#### Solución:
Similar al **Ejercicio 4**, usamos el método de descomposición vectorial:
- Descomponemos las fuerzas en sus componentes \(x\) e \(y\).
- Sumamos las componentes y calculamos la magnitud y la dirección.

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### **Ejercicio 6:**
En una cuadrícula donde cada cuadrado pequeño tiene 2 cm de lado:
- (a) Construir los vectores \(\overrightarrow{DE}\) y \(\overrightarrow{DB}\).
- (b) Calcular el módulo de los vectores.
- (c) Determinar la dirección de cada vector.

#### Solución:
1. Identificar las coordenadas de los puntos \(D\), \(E\) y \(B\) en la cuadrícula.
2. Calcular los vectores y sus módulos usando:
   \[
   |\overrightarrow{DE}| = \sqrt{(E_x - D_x)^2 + (E_y - D_y)^2}
   \]
3. Calcular la dirección usando:
   \[
   \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\right)
   \]

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### **Ejercicio 7:**
Dada la figura con vectores:
- (a) Escribir los vectores en forma cartesiana.
- (b) Determinar los ángulos directores.
- (c) Calcular el vector unitario de cada vector.

#### Solución:
1. **Forma cartesiana**: Expresar cada vector en términos de \(x\), \(y\) y \(z\).
2. **Ángulos directores**: Calcular los ángulos con respecto a los ejes usando:
   \[
   \cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{A}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{A}|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{A}|}
   \]
3. **Vector unitario**: Dividir cada componente por la magnitud del vector:
   \[
   \hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}
   \]

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### **Ejercicio 8:**
Dadas las siguientes expresiones, hallar:
- (a) \((\hat{i} - 2\hat{j}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j})\)
- (b) \((3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})\)

#### Solución:
1. **Producto escalar**:
   \[
   (\hat{i} - 2\hat{j}) \cdot (\hat{i} - 2

Detailed step-by-step solutions for problems involving vector operations, including magnitude, direction, vector addition, and force analysis. Covers key concepts like trigonometry, vector decomposition, and Cartesian forms. Suitable for advanced high school or college students.

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