
3.
⋆
Determine cu ́ales de las siguientes ́areas son iguales. Justi
fique su respuesta.
0
1
y
=
e
√
x
0
1
y
= 2
xe
x
π
2
0
y
=
e
sen(
x
)
sen(2
x
)
4.
⋆
Resolver cada literal
(
a
)
Si
f
es continua y
Z
9
0
f
(
x
)
dx
= 4
,
encuentre
Z
3
0
xf
x
2
dx.
(
b
)
Suponga que
f
es una funci ́on continua tal que para toda
x
se cumple que
f
(2
x
) = 3
f
(
x
)
y
f
x
+
1
2
=
1
3
+
f
(
x
)
.
Calcule
Z
1
0
f
(
x
)
dx

### 3. Comparación de Áreas

Vamos a determinar qué áreas son iguales. Tenemos tres funciones y sus respectivas áreas:

1. \( A_1 = \int_0^1 e^{\sqrt{x}} \, dx \)
2. \( A_2 = \int_0^1 2x e^x \, dx \)
3. \( A_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin(x)\sin(2x)} \, dx \)

#### Justificación
- **Área 1**: Para \( A_1 = \int_0^1 e^{\sqrt{x}} \, dx \), no existe una antiderivada elemental para esta función, pero se puede evaluar numéricamente.
  
- **Área 2**: Para \( A_2 = \int_0^1 2x e^x \, dx \), podemos resolver por partes:
  \[
  u = 2x, \quad dv = e^x dx \quad \Rightarrow \quad du = 2dx, \quad v = e^x
  \]
  Aplicando integración por partes:
  \[
  \int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x
  \]
  Evaluando de 0 a 1:
  \[
  A_2 = \left(2(1)e^1 - 2e^1\right) - \left(2(0)e^0 - 2e^0\right) = 0
  \]

- **Área 3**: \( A_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin(x)\sin(2x)} \, dx \) también se evalúa numéricamente, ya que no tiene antiderivada elemental.

### Conclusión:
Algunas de estas áreas no tienen soluciones elementales, pero la segunda área, \( A_2 \), es igual a 0. Las demás áreas deben calcularse numéricamente para compararlas.

---

### 4. Resolver cada literal

#### a) \( \int_0^9 f(x) \, dx = 4 \), encontrar \( \int_0^3 x f(x^2) \, dx \)

Primero, hacemos el cambio de variable:
\[
u = x^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x dx
\]
Reescribimos la integral en términos de \( u \):
\[
\int_0^3 x f(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^9 f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2
\]

#### b) \( f(2x) = 3f(x) \) y \( f(x + \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + f(x) \)

Vamos a explorar estas propiedades para calcular \( \int_0^1 f(x) \, dx \).

1. De la relación \( f(2x) = 3f(x) \), para \( x = 0 \), obtenemos \( f(0) = 3f(0) \), lo que implica que \( f(0) = 0 \).
2. De la relación \( f(x + \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + f(x) \), evaluamos en \( x = 0 \), obteniendo \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} \).
   
De estas propiedades, podemos deducir más información, pero sería necesario profundizar más en la estructura de \( f(x) \) para calcular exactamente la integral.

Determine cu ́ales de las siguientes ́areas son iguales. Justifique su respuesta.
0 1 y = e√x
0 1 y = 2xe^x
π/2 0 y = e^{sen(x)sen(2x)}
Resolver cada literal:
(a) Si f es continua y ∫_0^9 f(x)dx = 4, encuentre ∫_0^3 xf(x^2)dx.
(b) Suponga que f es una función continua tal que para toda x se cumple que f(2x) = 3f(x) y f(x + 1/2) = 1/3 + f(x). Calcule ∫_0^1 f(x)dx.

Explore the comparison of areas under different curves and the integration of continuous functions. This problem involves integration techniques such as substitution and integration by parts. Suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation