encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi
para o sistema linear abaixo usando x
(0) = 0.
4x1 + x2 − x3 + x4 = −2
x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1
−x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0
x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1


Vamos repetir a resolução do sistema linear, aplicando as **duas primeiras iterações do método de Jacobi**, com o vetor inicial \( x^{(0)} = (0, 0, 0, 0) \).

### Sistema Linear:
\[
\begin{aligned}
4x_1 + x_2 - x_3 + x_4 &= -2 \\
x_1 + 4x_2 - x_3 - x_4 &= -1 \\
-x_1 - x_2 + 5x_3 + x_4 &= 0 \\
x_1 - x_2 + x_3 + 3x_4 &= 1
\end{aligned}
\]

### Passo 1: Isolar cada incógnita

A partir das equações fornecidas, isolamos as variáveis \( x_1, x_2, x_3, x_4 \):

1. \( x_1 = \frac{-2 - x_2 + x_3 - x_4}{4} \)
2. \( x_2 = \frac{-1 - x_1 + x_3 + x_4}{4} \)
3. \( x_3 = \frac{-x_1 - x_2 - x_4}{5} \)
4. \( x_4 = \frac{1 - x_1 + x_2 - x_3}{3} \)

### Passo 2: Iteração inicial \( x^{(0)} = (0, 0, 0, 0) \)

Vamos começar substituindo os valores iniciais \( x_1^{(0)} = 0 \), \( x_2^{(0)} = 0 \), \( x_3^{(0)} = 0 \), \( x_4^{(0)} = 0 \) nas equações acima.

#### Iteração 1:
1. \( x_1^{(1)} = \frac{-2 - 0 + 0 - 0}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \)
2. \( x_2^{(1)} = \frac{-1 - 0 + 0 + 0}{4} = \frac{-1}{4} = -0.25 \)
3. \( x_3^{(1)} = \frac{-0 - 0 - 0}{5} = 0 \)
4. \( x_4^{(1)} = \frac{1 - 0 + 0 - 0}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)

Após a primeira iteração, obtemos o vetor:
\[
x^{(1)} = (-0.5, -0.25, 0, 0.3333)
\]

#### Iteração 2:
Agora, substituímos os valores de \( x^{(1)} \) nas equações:

1. \( x_1^{(2)} = \frac{-2 - (-0.25) + 0 - 0.3333}{4} = \frac{-2 + 0.25 - 0.3333}{4} = \frac{-2.0833}{4} = -0.5208 \)
2. \( x_2^{(2)} = \frac{-1 - (-0.5) + 0 + 0.3333}{4} = \frac{-1 + 0.5 + 0.3333}{4} = \frac

encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para o sistema linear abaixo usando x(0) = 0. 4x1 + x2 − x3 + x4 = −2; x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1; −x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0; x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1

Learn how to apply the Jacobi method for solving a system of linear equations. This detailed solution walks through the first two iterations using the initial vector x(0) = (0, 0, 0, 0) on a 4x4 system. Ideal for students studying Linear Algebra at the undergraduate level.

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