38. Una cuarta parte de los residentes de Burning Ridge Estates dejan las puertas de sus cocheras
abiertas cuando salen de su hogar. El jefe de la policía de la localidad calcula que a 5% de las
cocheras les robarán algo, pero sólo al 1% de las cocheras con puertas cerradas les robarán algo.
Si roban una cochera, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan dejado las puertas abiertas?

Este problema puede resolverse utilizando el **Teorema de Bayes**. El objetivo es encontrar la probabilidad de que una cochera tenga la puerta abierta dado que ha sido robada.

### Definamos los eventos:
- \( A \): la cochera tiene la puerta abierta.
- \( C \): la cochera ha sido robada.

Sabemos lo siguiente:
- \( P(A) = 0.25 \): la probabilidad de que la cochera esté abierta.
- \( P(A^c) = 0.75 \): la probabilidad de que la cochera esté cerrada (es el complemento de \( A \)).
- \( P(C | A) = 0.05 \): la probabilidad de que una cochera sea robada dado que está abierta.
- \( P(C | A^c) = 0.01 \): la probabilidad de que una cochera sea robada dado que está cerrada.

Queremos encontrar la probabilidad de que la cochera esté abierta dado que ha sido robada, es decir, \( P(A | C) \).

### Aplicamos el Teorema de Bayes:
\[
P(A | C) = \frac{P(C | A) \cdot P(A)}{P(C)}
\]
Donde \( P(C) \) es la probabilidad total de que una cochera sea robada, que se puede calcular usando la **ley de la probabilidad total**:
\[
P(C) = P(C | A) \cdot P(A) + P(C | A^c) \cdot P(A^c)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
P(C) = (0.05)(0.25) + (0.01)(0.75) = 0.0125 + 0.0075 = 0.02
\]

Ahora sustituimos \( P(C) \) en la fórmula de Bayes:
\[
P(A | C) = \frac{(0.05)(0.25)}{0.02} = \frac{0.0125}{0.02} = 0.625
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la cochera tenga la puerta abierta dado que ha sido robada es del **62.5%**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deduce el teorema de Bayes a partir de probabilidades condicionales?
2. ¿Qué ocurre con la probabilidad si cambian los porcentajes de robos?
3. ¿Cómo se calcula la probabilidad total en otros casos?
4. ¿Cómo se interpreta la probabilidad condicional en contextos diferentes?
5. ¿Cómo afecta el complemento en las probabilidades al usar el teorema de Bayes?

### Tip:
El Teorema de Bayes es útil cuando se conoce la probabilidad de ciertos eventos condicionales y se busca invertir la relación para encontrar la probabilidad inversa.

Una cuarta parte de los residentes de Burning Ridge Estates dejan las puertas de sus cocheras abiertas cuando salen de su hogar. El jefe de la policía de la localidad calcula que a 5% de las cocheras les robarán algo, pero sólo al 1% de las cocheras con puertas cerradas les robarán algo. Si roban una cochera, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan dejado las puertas abiertas?

Este problema explora la probabilidad condicional de que una cochera haya sido robada con la puerta abierta, aplicando el Teorema de Bayes y la ley de la probabilidad total. Ideal para estudiantes de secundaria que estudian probabilidad.

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