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basado en el tema  4 (documento adjunto) cual es la solucion del trabajo adjunto colade15t4?

Para resolver el trabajo titulado "Análisis del beneficio de una empresa", se requiere aplicar los conceptos del **Tema 4** relacionados con derivadas y análisis de funciones. Aquí te presento el desarrollo del ejercicio con base en las indicaciones del documento adjunto:

La función de beneficio de la empresa es:
\[
B(x) = \frac{x^2 - 32}{x + 10}
\]
donde \( x \) representa la producción de artículos vendidos. Vamos a realizar el análisis pedido:

### 1. **Dominio y asíntotas**

- **Dominio**: La función es una fracción racional, por lo que el denominador no puede ser cero. 
  \[
  x + 10 = 0 \implies x = -10
  \]
  Por lo tanto, el dominio es \( D(B) = (-\infty, -10) \cup (-10, \infty) \).

- **Asíntota vertical**: Se da en el valor donde el denominador es cero:
  \[
  x = -10
  \]
  Por lo tanto, existe una asíntota vertical en \( x = -10 \).

- **Asíntota oblicua**: Al dividir el numerador entre el denominador (división de polinomios):
  \[
  B(x) = \frac{x^2 - 32}{x + 10} = x - 10 + \frac{68}{x + 10}
  \]
  Entonces, la asíntota oblicua es \( y = x - 10 \).

### 2. **Intervalos de crecimiento y decrecimiento**

Para determinar estos intervalos, derivamos la función \( B(x) \):

\[
B'(x) = \frac{(2x)(x + 10) - (x^2 - 32)}{(x + 10)^2} = \frac{2x(x + 10) - (x^2 - 32)}{(x + 10)^2}
\]
Simplificando:
\[
B'(x) = \frac{x^2 + 20x - x^2 + 32}{(x + 10)^2} = \frac{20x + 32}{(x + 10)^2}
\]

Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
\[
20x + 32 = 0 \implies x = -\frac{32}{20} = -1.6
\]

El signo de la derivada en los intervalos nos permite determinar el crecimiento y decrecimiento:
- Para \( x < -1.6 \), la derivada es negativa, por lo tanto, la función decrece.
- Para \( x > -1.6 \), la derivada es positiva, por lo tanto, la función crece.

### 3. **Puntos críticos (máximos y mínimos)**

- El punto crítico es \( x = -1.6 \). Para clasificar este punto, calculamos la segunda derivada:
  \[
  B''(x) = \frac{20(x + 10)^2 - (20x + 32)2(x + 10)}{(x + 10)^4}
  \]
  Evaluamos en \( x = -1.6 \) para determinar si es un máximo o mínimo. Al hacer los cálculos, se encuentra que es un **mínimo local**.

### 4. **Concavidad y puntos de inflexión**

El cambio de signo en la segunda derivada determinará los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

¿Te gustaría más detalles de algún paso o la representación gráfica de la función? 

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la concavidad de una función usando la segunda derivada?
2. ¿Cómo se calcula la asíntota oblicua de una función racional?
3. ¿Cuáles son los métodos para clasificar los puntos críticos?
4. ¿Qué otros tipos de asíntotas existen y cómo se identifican?
5. ¿Qué papel juegan los intervalos de crecimiento y decrecimiento en la optimización?

**Tip**: Utiliza siempre la derivada para entender el comportamiento local de las funciones, especialmente en problemas de optimización.

basado en el tema 4 (documento adjunto) cual es la solucion del trabajo adjunto colade15t4?

Realiza un análisis detallado de la función de beneficio B(x) = (x^2 - 32) / (x + 10) para una empresa, explorando su dominio, asíntotas, puntos críticos, y curvatura. Descubre cómo optimizar el beneficio aplicando derivadas.

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