hallar la región R que se encuentra debajo la parábola y=4x-x^2 sobre el eje x y sobre la recta y=-3x+6

Para hallar la región \( R \) delimitada entre la parábola \( y = 4x - x^2 \), la recta \( y = -3x + 6 \), y el eje \( x \), debemos seguir estos pasos:

### 1. Encontrar los puntos de intersección
Primero, encontramos los puntos donde la parábola y la recta se intersectan, es decir, resolvemos el sistema de ecuaciones:

\[
4x - x^2 = -3x + 6
\]

Reordenamos la ecuación para llevar todo a un lado:

\[
4x - x^2 + 3x - 6 = 0
\]

\[
-x^2 + 7x - 6 = 0
\]

Multiplicamos por \( -1 \) para simplificar:

\[
x^2 - 7x + 6 = 0
\]

Este es un trinomio cuadrado que podemos factorizar como:

\[
(x - 1)(x - 6) = 0
\]

De aquí, obtenemos dos soluciones para \( x \):

\[
x = 1 \quad \text{y} \quad x = 6
\]

### 2. Determinar la región bajo la curva
La región está delimitada entre \( x = 1 \) y \( x = 6 \). Ahora, encontramos el área entre las dos funciones. La función que está por encima en este intervalo es la parábola \( y = 4x - x^2 \), y la función que está por debajo es la recta \( y = -3x + 6 \).

### 3. Área entre las curvas
Para calcular el área entre las dos curvas, integramos la diferencia entre las funciones entre los límites \( x = 1 \) y \( x = 6 \):

\[
A = \int_{1}^{6} \left[ (4x - x^2) - (-3x + 6) \right] \, dx
\]

Simplificamos la expresión dentro de la integral:

\[
A = \int_{1}^{6} \left( 4x - x^2 + 3x - 6 \right) \, dx
\]

\[
A = \int_{1}^{6} \left( 7x - x^2 - 6 \right) \, dx
\]

### 4. Calcular la integral
Ahora, integramos término a término:

\[
A = \left[ \frac{7x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 6x \right]_{1}^{6}
\]

Evaluamos la integral en los límites \( x = 6 \) y \( x = 1 \).

Para \( x = 6 \):

\[
\frac{7(6)^2}{2} - \frac{(6)^3}{3} - 6(6) = \frac{7(36)}{2} - \frac{216}{3} - 36 = 126 - 72 - 36 = 18
\]

Para \( x = 1 \):

\[
\frac{7(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} - 6(1) = \frac{7}{2} - \frac{1}{3} - 6 = 3.5 - 0.33 - 6 = -2.83
\]

Finalmente, calculamos el área:

\[
A = 18 - (-2.83) = 18 + 2.83 = 20.83
\]

### Resultado:
El área de la región \( R \) es aproximadamente \( 20.83 \) unidades cuadradas.

---

¿Te gustaría más detalles sobre el cálculo de la integral o algún otro paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se pueden calcular las intersecciones de otras curvas algebraicas?
2. ¿Cuál es el significado geométrico de la integral definida?
3. ¿Cómo se usa el teorema fundamental del cálculo en este contexto?
4. ¿Cómo afectan los cambios de límites de integración al área?
5. ¿Qué sucede si las curvas se cruzan en más de dos puntos?

### Tip:
Al integrar una diferencia de funciones, siempre asegúrate de que la curva superior esté correctamente identificada para evitar errores en el área.

Learn how to calculate the area of the region under the parabola y=4x-x^2 and above the line y=-3x+6 using integration. This step-by-step guide covers intersection points, definite integrals, and key calculus concepts. Ideal for high school students in Grades 10-12.

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