Una de las caras de un paralelepípedo rectangular es un cuadrado. La diagonal del 
paralelepípedo es √8 y forma un ángulo de 45° con el plano de esa cara. Encuentra el 
volumen del paralelepípedo

Un **paralelepípedo rectangular** es un prisma cuyas caras son rectángulos, y el hecho de que una de las caras sea un cuadrado es clave para este problema. A continuación, desglosamos la información y los pasos para resolverlo.

### Datos proporcionados:
1. Una de las caras es un **cuadrado**. Supongamos que sus lados miden \( a \).
2. La **diagonal del paralelepípedo** es \( \sqrt{8} \).
3. La diagonal forma un ángulo de \( 45^\circ \) con el plano de esa cara cuadrada.

### Paso 1: Relación entre la diagonal y los lados del paralelepípedo
Dado que una de las caras es un cuadrado de lado \( a \), y si llamamos \( b \) a la altura del paralelepípedo perpendicular a dicha cara, la diagonal \( d \) del paralelepípedo rectangular está dada por la fórmula:

\[
d = \sqrt{a^2 + a^2 + b^2} = \sqrt{2a^2 + b^2}
\]

Sabemos que \( d = \sqrt{8} \), por lo tanto:

\[
\sqrt{2a^2 + b^2} = \sqrt{8}
\]

Al elevar ambos lados al cuadrado, obtenemos:

\[
2a^2 + b^2 = 8 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

### Paso 2: Uso del ángulo de \( 45^\circ \)
El ángulo de \( 45^\circ \) que forma la diagonal con el plano de la cara cuadrada nos proporciona más información. La proyección de la diagonal sobre el plano de esa cara cuadrada es la diagonal de dicho cuadrado. La diagonal del cuadrado de lado \( a \) es:

\[
d_{\text{cuadrado}} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a
\]

Dado que el ángulo entre la diagonal del paralelepípedo y el plano es de \( 45^\circ \), podemos usar la relación trigonométrica:

\[
\cos(45^\circ) = \frac{\text{diagonal de la cara cuadrada}}{\text{diagonal del paralelepípedo}} = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{8}}
\]

Sabemos que \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), entonces:

\[
\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Multiplicamos ambos lados por \( \sqrt{8} \) para simplificar:

\[
\sqrt{2}a = \sqrt{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2
\]

Por lo tanto, \( a = 1 \).

### Paso 3: Cálculo de \( b \)
Sustituimos \( a = 1 \) en la **Ecuación 1**:

\[
2(1^2) + b^2 = 8
\]

\[
2 + b^2 = 8
\]

\[
b^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{6}
\]

### Paso 4: Cálculo del volumen
El volumen \( V \) de un paralelepípedo es simplemente el producto de sus dimensiones. Como una de las caras es un cuadrado, el volumen es:

\[
V = a^2 \cdot b = 1^2 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}
\]

### Respuesta final:
El volumen del paralelepípedo es \( \sqrt{6} \) unidades cúbicas.

---

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para practicar más:

1. ¿Cómo se determina la diagonal de un cuboide o paralelepípedo rectangular?
2. ¿Qué papel juega el ángulo en la resolución de este tipo de problemas geométricos?
3. ¿Cómo se relaciona la trigonometría con los ángulos y las proyecciones?
4. ¿Qué ocurre si el ángulo no fuera \( 45^\circ \)?
5. ¿Cómo se aplica el Teorema de Pitágoras en figuras tridimensionales?

**Tip:** Cuando trabajes con ángulos en problemas tridimensionales, la clave es siempre entender cómo se proyectan las dimensiones en los diferentes planos.

Una de las caras de un paralelepípedo rectangular es un cuadrado. La diagonal del paralelepípedo es √8 y forma un ángulo de 45° con el plano de esa cara. Encuentra el volumen del paralelepípedo

Aprende a calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular con una cara cuadrada, diagonal √8 y un ángulo de 45° con el plano de la cara. Este problema utiliza conceptos de geometría y trigonometría avanzados, adecuado para estudiantes de secundaria superior (Grades 10-12).

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