Una de las caras de un paralelepípedo rectangular es un cuadrado. La diagonal del 
paralelepípedo es √8 y forma un ángulo de 45° con el plano de esa cara. Encuentra el 
volumen del paralelepípedo. 

Para resolver este problema, primero identifiquemos las características del paralelepípedo:

1. **Un paralelepípedo rectangular** tiene tres dimensiones: \( a \), \( b \) y \( c \).
2. **Una de las caras es un cuadrado**: Esto significa que dos de sus dimensiones son iguales. Supongamos que las dimensiones de esa cara cuadrada son \( a \times a \), por lo que \( a = b \).
3. La **diagonal total** del paralelepípedo tiene una longitud de \( \sqrt{8} \).
4. La diagonal forma un **ángulo de 45° con el plano de la cara cuadrada**: Esto implica que la diagonal no está completamente dentro de la cara cuadrada, sino que también involucra la dimensión \( c \).

### Paso 1: Diagonal del paralelepípedo
Sabemos que la diagonal de un paralelepípedo rectangular está dada por la fórmula:
\[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
\]
Dado que \( a = b \), podemos simplificar la ecuación a:
\[
d = \sqrt{a^2 + a^2 + c^2} = \sqrt{2a^2 + c^2}
\]
Como nos dicen que la diagonal es \( \sqrt{8} \), tenemos:
\[
\sqrt{2a^2 + c^2} = \sqrt{8}
\]
Elevamos ambos lados al cuadrado:
\[
2a^2 + c^2 = 8 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

### Paso 2: Relación con el ángulo
La diagonal forma un ángulo de \( 45^\circ \) con el plano de la cara cuadrada. La proyección de la diagonal en ese plano es la diagonal del cuadrado, que es \( \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a \).

Dado que el ángulo entre la diagonal del paralelepípedo y el plano es de \( 45^\circ \), podemos usar la fórmula:
\[
\cos(45^\circ) = \frac{\text{proyección en el plano}}{\text{diagonal total}}
\]
\[
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Al igualar estas expresiones, obtenemos:
\[
\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Simplificando:
\[
\frac{a}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Multiplicamos ambos lados por \( 2 \):
\[
a = \sqrt{2}
\]

### Paso 3: Determinar \( c \)
Ahora que sabemos que \( a = \sqrt{2} \), sustituimos este valor en la **Ecuación 1**:
\[
2(\sqrt{2})^2 + c^2 = 8
\]
\[
2(2) + c^2 = 8
\]
\[
4 + c^2 = 8
\]
\[
c^2 = 4
\]
\[
c = 2
\]

### Paso 4: Calcular el volumen
El volumen de un paralelepípedo rectangular está dado por:
\[
V = a \cdot b \cdot c
\]
Dado que \( a = b = \sqrt{2} \) y \( c = 2 \), el volumen es:
\[
V = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4
\]

### Respuesta:
El volumen del paralelepípedo es \( \boxed{4} \).

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se calcula la diagonal de un paralelepípedo?
2. ¿Qué relación existe entre las proyecciones de una diagonal y los ángulos?
3. ¿Cómo afecta el ángulo de inclinación a la proyección de una diagonal?
4. ¿Qué otras propiedades geométricas tiene un paralelepípedo?
5. ¿Cómo se relacionan el área y el volumen de un paralelepípedo?

**Tip:** Si conoces la diagonal y un ángulo en geometría, siempre es útil analizar las proyecciones en diferentes planos para encontrar más relaciones entre las dimensiones.

Una de las caras de un paralelepípedo rectangular es un cuadrado. La diagonal del paralelepípedo es √8 y forma un ángulo de 45° con el plano de esa cara. Encuentra el volumen del paralelepípedo.

This problem involves finding the volume of a rectangular parallelepiped where one face is a square, the diagonal is √8, and it forms a 45° angle with the square face. Learn how to apply the Pythagorean theorem and cosine relationships to solve it, suitable for students in Grades 10-12.

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