Verificar que las rectas ( y = 2x -3 ; y = -3x + 4 ; y = 4x -7 ) se cortan en un punto .

Para verificar si las tres rectas \( y = 2x - 3 \), \( y = -3x + 4 \), y \( y = 4x - 7 \) se cortan en un solo punto, debemos encontrar si existe un punto común \((x, y)\) que satisfaga las ecuaciones de las tres rectas simultáneamente.

### Paso 1: Encontrar el punto de intersección entre las rectas \( y = 2x - 3 \) y \( y = -3x + 4 \).

Igualamos las ecuaciones:

\[
2x - 3 = -3x + 4
\]

Resolviendo para \(x\):

\[
2x + 3x = 4 + 3 \\
5x = 7 \\
x = \frac{7}{5}
\]

Sustituyendo \(x = \frac{7}{5}\) en una de las ecuaciones para encontrar \(y\):

\[
y = 2\left(\frac{7}{5}\right) - 3 = \frac{14}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{1}{5}
\]

Entonces, el punto de intersección de las dos primeras rectas es \( \left(\frac{7}{5}, -\frac{1}{5}\right) \).

### Paso 2: Verificar si este punto también está en la tercera recta \( y = 4x - 7 \).

Sustituyendo \(x = \frac{7}{5}\) en la tercera ecuación:

\[
y = 4\left(\frac{7}{5}\right) - 7 = \frac{28}{5} - \frac{35}{5} = -\frac{7}{5}
\]

El valor de \(y\) para la tercera recta es \(-\frac{7}{5}\), lo cual no coincide con el \(y = -\frac{1}{5}\) encontrado antes.

### Conclusión

Las tres rectas **no** se cortan en un mismo punto porque el punto de intersección de las primeras dos rectas no satisface la ecuación de la tercera recta. Por lo tanto, no hay un punto común para las tres rectas.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo encontrar el punto de intersección entre dos rectas dadas?
2. ¿Qué significa cuando dos rectas tienen el mismo punto de intersección?
3. ¿Cómo se determina si tres o más rectas son concurrentes?
4. ¿Qué métodos gráficos se pueden utilizar para verificar la intersección de rectas?
5. ¿Cómo afecta la pendiente de una recta a su intersección con otras rectas?

**Tip:** Cuando se igualan dos ecuaciones de rectas para encontrar su punto de intersección, estás resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

Aprende cómo verificar si las rectas y = 2x - 3, y = -3x + 4, y y = 4x - 7 se intersectan en un punto único. Este problema involucra el sistema de ecuaciones lineales y la intersección de líneas en el plano cartesiano. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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