tìm x thuộc z sao cho x^2+x+5 là số chính phương

Để tìm \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( x^2 + x + 5 \) là số chính phương, chúng ta sẽ làm như sau:

Gọi \( y \) là số nguyên dương sao cho:

\[
x^2 + x + 5 = y^2
\]

Từ đây, ta có phương trình:

\[
x^2 + x + (5 - y^2) = 0
\]

Phương trình này là phương trình bậc hai với ẩn \( x \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(5 - y^2)}}{2}
\]

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{4y^2 - 19}}{2}
\]

Để \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \), biểu thức dưới căn phải là số chính phương. Do đó, ta cần \( 4y^2 - 19 \) là số chính phương, tức là có một số nguyên \( z \) sao cho:

\[
4y^2 - 19 = z^2
\]

Ta được phương trình Diophantine:

\[
4y^2 - z^2 = 19
\]

Viết lại dưới dạng hiệu hai bình phương:

\[
(2y - z)(2y + z) = 19
\]

Phân tích các trường hợp có thể:

1. \( 2y - z = 1 \) và \( 2y + z = 19 \)
2. \( 2y - z = -1 \) và \( 2y + z = -19 \)

**Trường hợp 1**:
- \( 2y - z = 1 \)
- \( 2y + z = 19 \)

Cộng hai phương trình lại, ta có:

\[
4y = 20 \Rightarrow y = 5
\]

Thay vào \( 2y - z = 1 \), ta có \( z = 9 \).

**Trường hợp 2**:
- \( 2y - z = -1 \)
- \( 2y + z = -19 \)

Cộng hai phương trình lại, ta có:

\[
4y = -20 \Rightarrow y = -5
\]

Thay vào \( 2y - z = -1 \), ta có \( z = -9 \).

Với các giá trị \( y = 5 \) và \( y = -5 \), ta tìm được các giá trị tương ứng của \( x \):

- \( x^2 + x + 5 = 25 \) cho \( y = 5 \)
- \( x^2 + x + 5 = 25 \) cho \( y = -5 \)

Dẫn đến \( x^2 + x - 20 = 0 \), có nghiệm là:

\[
x = 4 \text{ hoặc } x = -5
\]

Vậy các giá trị của \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) thoả mãn điều kiện bài toán là \( x = 4 \) hoặc \( x = -5 \).

Bạn có cần chi tiết hơn về các bước không? 

**5 câu hỏi liên quan**:
1. Làm thế nào để nhận biết một phương trình Diophantine?
2. Phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm trong tập số nguyên?
3. Hiệu hai bình phương có thể được giải bằng cách nào khác?
4. Tại sao điều kiện số chính phương là quan trọng trong bài toán này?
5. Các trường hợp giải phương trình Diophantine cần chú ý điều gì?

**Mẹo**: Khi giải phương trình bậc hai, luôn kiểm tra kỹ điều kiện nghiệm là số nguyên nếu bài toán yêu cầu.

Explore how to find integer solutions for the equation x^2 + x + 5 = y^2 using quadratic and Diophantine equation techniques. This problem involves Diophantine equations and the properties of square numbers. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation