Để giải bài toán này bằng kiến thức lớp 8, chúng ta sẽ xem xét trực tiếp phương trình mà không cần dùng đến phương trình Diophantine.

**Bài toán:** Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( x^2 + x + 5 \) là số chính phương.

Gọi \( y^2 \) là số chính phương cần tìm, khi đó:

\[
x^2 + x + 5 = y^2
\]

Chuyển vế:

\[
x^2 + x + (5 - y^2) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, biểu thức \( x^2 + x + (5 - y^2) \) phải có một nghiệm là số nguyên.

### Xét tính chất số chính phương

Vì \( x^2 + x \) là số nguyên dương, nên \( x^2 + x + 5 \) lớn hơn 5. Mặt khác, vì \( x^2 + x + 5 \) là số chính phương, hiệu giữa hai số chính phương liên tiếp lớn hơn hoặc bằng 4. Do đó, \( x^2 + x + 5 \) phải thuộc khoảng giữa hai số chính phương gần nhất.

### Thử các giá trị nhỏ của \( x \)

Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( x \) để tìm xem giá trị nào khiến \( x^2 + x + 5 \) là số chính phương:

1. **\( x = 0 \):** \( 0^2 + 0 + 5 = 5 \) (không là số chính phương)
2. **\( x = 1 \):** \( 1^2 + 1 + 5 = 7 \) (không là số chính phương)
3. **\( x = 2 \):** \( 2^2 + 2 + 5 = 11 \) (không là số chính phương)
4. **\( x = 3 \):** \( 3^2 + 3 + 5 = 17 \) (không là số chính phương)
5. **\( x = 4 \):** \( 4^2 + 4 + 5 = 25 \) (là số chính phương \( y = 5 \))

Vậy \( x = 4 \) thoả mãn yêu cầu bài toán.

6. **\( x = -1 \):** \( (-1)^2 + (-1) + 5 = 5 \) (không là số chính phương)
7. **\( x = -2 \):** \( (-2)^2 + (-2) + 5 = 7 \) (không là số chính phương)
8. **\( x = -3 \):** \( (-3)^2 + (-3) + 5 = 11 \) (không là số chính phương)
9. **\( x = -4 \):** \( (-4)^2 + (-4) + 5 = 17 \) (không là số chính phương)
10. **\( x = -5 \):** \( (-5)^2 + (-5) + 5 = 25 \) (là số chính phương \( y = 5 \))

Vậy, các giá trị của \( x \) thỏa mãn là \( x = 4 \) và \( x = -5 \).

Bạn có cần thêm chi tiết nào không? 

**5 câu hỏi liên quan**:
1. Số chính phương là gì, và làm thế nào để nhận biết một số là số chính phương?
2. Khi nào một phương trình bậc hai có nghiệm nguyên?
3. Tại sao phương pháp thử giá trị có thể hiệu quả cho bài toán này?
4. Phương trình bậc hai khác có thể giải bằng cách nào nếu không sử dụng công thức nghiệm?
5. Làm thế nào để đánh giá khoảng cách giữa hai số chính phương liên tiếp?

**Mẹo**: Khi gặp bài toán yêu cầu tìm giá trị nguyên, việc thử các giá trị nhỏ của ẩn số là một chiến lược đơn giản và hiệu quả, đặc biệt đối với học sinh lớp 8.

Learn how to solve a problem using 8th grade knowledge with a detailed explanation and step-by-step solution. This problem involves quadratic equations and perfect squares, exploring the properties of these mathematical concepts. Suitable for 8th grade students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation