deriva 4xcuadrada menos 2raiz de x entre x

Para derivar la expresión \( \frac{4x^2 - 2\sqrt{x}}{x} \), podemos seguir estos pasos:

1. **Simplificar la expresión:**
   \[
   \frac{4x^2 - 2\sqrt{x}}{x} = \frac{4x^2}{x} - \frac{2\sqrt{x}}{x}
   \]
   Simplificando cada término:
   \[
   = 4x - 2\frac{\sqrt{x}}{x}
   \]

   Sabemos que \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \), por lo que:
   \[
   \frac{\sqrt{x}}{x} = x^{-\frac{1}{2}}
   \]

   La expresión se convierte en:
   \[
   4x - 2x^{-\frac{1}{2}}
   \]

2. **Derivar la expresión simplificada:**
   Derivamos cada término con respecto a \(x\):

   - La derivada de \(4x\) es \(4\).
   - La derivada de \(-2x^{-\frac{1}{2}}\) es \(-2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}\).

   Entonces:
   \[
   \frac{d}{dx} \left(4x - 2x^{-\frac{1}{2}}\right) = 4 + x^{-\frac{3}{2}}
   \]

   Simplificando, obtenemos:
   \[
   4 + \frac{1}{\sqrt{x^3}}
   \]

**Resultado final:**  
La derivada de \( \frac{4x^2 - 2\sqrt{x}}{x} \) es \( \boxed{4 + \frac{1}{\sqrt{x^3}}} \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se deriva una función utilizando la regla del cociente?
2. ¿Qué sucede si derivamos cada término por separado antes de simplificar?
3. ¿Cómo afecta la raíz cuadrada al proceso de derivación?
4. ¿Cuál es la importancia de simplificar antes de derivar?
5. ¿Cómo se deriva una función con exponentes fraccionarios?

**Tip:**  
Simplificar una expresión antes de derivar puede hacer el proceso más sencillo y reduce el riesgo de errores.

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