sistema de ecuaciones diferenciales hallarlo paso a paso 

Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales es un proceso que puede variar en complejidad dependiendo de la naturaleza del sistema (lineal, no lineal, con coeficientes constantes o variables, etc.). Aquí te mostraré cómo resolver un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes, paso a paso.

### Ejemplo de sistema de ecuaciones diferenciales:
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = 4x + y \\
\frac{dy}{dt} = -2x + y
\end{cases}
\]

### Paso 1: Escribir el sistema en forma matricial
Primero, expresamos el sistema como una ecuación matricial:

\[
\frac{d\mathbf{X}}{dt} = A\mathbf{X}
\]

donde \(\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) y la matriz \(A\) es:

\[
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
\]

Entonces, el sistema se puede reescribir como:

\[
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Encontrar los valores propios y vectores propios de la matriz \(A\)
Para resolver este sistema, necesitamos encontrar los valores propios \(\lambda\) y los vectores propios \(\mathbf{v}\) de la matriz \(A\).

1. **Calcular el polinomio característico:**

\[
\text{det}(A - \lambda I) = 0
\]

donde \(I\) es la matriz identidad:

\[
\text{det}\left(\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \text{det}\begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ -2 & 1 - \lambda \end{pmatrix}
\]

\[
\text{det}\left( \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ -2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \right) = (4-\lambda)(1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0
\]

2. **Resolver la ecuación característica:**

\[
\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0
\]

Factorizamos:

\[
(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0
\]

Por lo tanto, los valores propios son \(\lambda_1 = 2\) y \(\lambda_2 = 3\).

3. **Encontrar los vectores propios:**

Para \(\lambda_1 = 2\):

\[
(A - 2I)\mathbf{v_1} = 0
\]

\[
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1^1 \\ v_1^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Esto nos da \(v_1^1 = -v_1^2\), por lo que un vector propio correspondiente es \(\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Para \(\lambda_2 = 3\):

\[
(A - 3I)\mathbf{v_2} = 0
\]

\[
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_2^1 \\ v_2^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Esto nos da \(v_2^1 = -v_2^2\), así que un vector propio correspondiente es \(\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).

### Paso 3: Escribir la solución general
La solución general del sistema es:

\[
\mathbf{X}(t) = c_1\mathbf{v_1}e^{\lambda_1 t} + c_2\mathbf{v_2}e^{\lambda_2 t}
\]

Sustituyendo los valores propios y los vectores propios encontrados:

\[
\mathbf{X}(t) = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{2t} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{3t}
\]

Esto se traduce en las soluciones para \(x(t)\) y \(y(t)\):

\[
x(t) = c_1e^{2t} + c_2e^{3t}
\]
\[
y(t) = -c_1e^{2t} - c_2e^{3t}
\]

### Paso 4: Determinar las constantes usando condiciones iniciales (si se proporcionan)
Si se tienen condiciones iniciales, se pueden usar para encontrar los valores de \(c_1\) y \(c_2\).

---

¿Tienes alguna duda o quieres más detalles sobre alguno de los pasos?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables?
2. ¿Qué sucede si la matriz \(A\) tiene valores propios complejos?
3. ¿Cómo se resuelve un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales?
4. ¿Qué métodos numéricos se pueden utilizar para sistemas de ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo se aplica la transformada de Laplace en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales?

### Tip:
Para sistemas con valores propios complejos, las soluciones involucran funciones seno y coseno, representando oscilaciones.

Aprende cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales paso a paso con un ejemplo detallado. Incluye la obtención de valores propios, vectores propios y la solución general. Adecuado para estudiantes de nivel universitario.

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