La ecuación de la demanda correspondiente a cierto producto es v(x)=465-2x y la función costo es c(x)=0,3x2+5x+400.Determinar el precio y la cantidad por el cual el beneficio es máximo 

Para maximizar el beneficio, necesitamos definir la función de beneficio \( B(x) \). El beneficio se calcula como la diferencia entre el ingreso total y el costo total. 

1. **Función de Ingreso Total:**

   El ingreso total \( I(x) \) se obtiene multiplicando la cantidad vendida \( x \) por el precio \( v(x) \):

   \[
   I(x) = x \cdot v(x)
   \]

   Dado que \( v(x) = 465 - 2x \), tenemos:

   \[
   I(x) = x \cdot (465 - 2x) = 465x - 2x^2
   \]

2. **Función de Beneficio:**

   La función de beneficio \( B(x) \) es la diferencia entre el ingreso total \( I(x) \) y el costo total \( C(x) \):

   \[
   B(x) = I(x) - C(x)
   \]

   Dado que \( C(x) = 0,3x^2 + 5x + 400 \), tenemos:

   \[
   B(x) = (465x - 2x^2) - (0,3x^2 + 5x + 400)
   \]

   Simplificamos:

   \[
   B(x) = 465x - 2x^2 - 0,3x^2 - 5x - 400
   \]

   \[
   B(x) = -2,3x^2 + 460x - 400
   \]

3. **Maximizar el Beneficio:**

   Para maximizar \( B(x) \), derivamos \( B(x) \) con respecto a \( x \) y la igualamos a cero:

   \[
   B'(x) = \frac{d}{dx}(-2,3x^2 + 460x - 400)
   \]

   \[
   B'(x) = -4,6x + 460
   \]

   Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de \( x \) que maximiza el beneficio:

   \[
   -4,6x + 460 = 0
   \]

   \[
   x = \frac{460}{4,6} = 100
   \]

   La cantidad que maximiza el beneficio es \( x = 100 \).

4. **Precio Correspondiente:**

   Sustituimos \( x = 100 \) en la función de demanda para encontrar el precio correspondiente:

   \[
   v(100) = 465 - 2(100) = 465 - 200 = 265
   \]

Entonces, el precio que maximiza el beneficio es \( \mathbf{265} \) y la cantidad es \( \mathbf{100} \).

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Cómo se calcula el punto de equilibrio para este producto?
2. ¿Cómo se afectaría el beneficio si se modifica la función de demanda?
3. ¿Cuál sería el beneficio máximo obtenido con \( x = 100 \)?
4. ¿Qué sucede si los costos fijos aumentan en la función de costo?
5. ¿Cómo afectaría un cambio en la elasticidad de la demanda al precio óptimo?

**Tip:** La derivada de una función cuadrática es lineal, lo que facilita la búsqueda de máximos y mínimos.

Learn how to maximize profit using demand and cost functions. Explore step-by-step calculations for determining the optimal price and quantity where profit is maximized. Includes detailed derivations and solutions for undergraduate-level study.

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