1.	Dada la ecuación (𝑥 − 𝑦3 + 𝑦2𝑆𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 = (3𝑥𝑦2 + 2𝑦𝐶𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑦 verifique que es una ecuación diferencial exacta y desarrolle el proceso que lleva a la solución general.

Para verificar si la ecuación diferencial dada es exacta y encontrar su solución general, sigamos estos pasos:

### Ecuación dada:

\[
(𝑥 − 𝑦^3 + 𝑦^2\sin(𝑥))\,dx = (3𝑥𝑦^2 + 2𝑦\cos(𝑥))\,dy
\]

Esto se puede reescribir en la forma estándar:

\[
M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0
\]

donde:

\[
M(x, y) = 𝑥 − 𝑦^3 + 𝑦^2\sin(𝑥)
\]

\[
N(x, y) = 3𝑥𝑦^2 + 2𝑦\cos(𝑥)
\]

### 1. Verificación de la exactitud

Una ecuación diferencial es exacta si cumple la condición:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
\]

Primero, calculemos \(\frac{\partial M}{\partial y}\):

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(𝑥 − 𝑦^3 + 𝑦^2\sin(𝑥)\right)
\]

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = -3𝑦^2 + 2𝑦\sin(𝑥)
\]

Ahora, calculemos \(\frac{\partial N}{\partial x}\):

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(3𝑥𝑦^2 + 2𝑦\cos(𝑥)\right)
\]

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = 3𝑦^2 - 2𝑦\sin(𝑥)
\]

### Comparación de \(\frac{\partial M}{\partial y}\) y \(\frac{\partial N}{\partial x}\):

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = -3𝑦^2 + 2𝑦\sin(𝑥)
\]

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = 3𝑦^2 - 2𝑦\sin(𝑥)
\]

Observamos que:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{\partial N}{\partial x}
\]

Dado que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta en su forma actual. Sin embargo, si se corrige la forma o se multiplicara por un factor integrante, se podría encontrar una ecuación exacta.

### 2. Proceso para la solución general (asumiendo exactitud)

Si fuera exacta, el procedimiento sería:

- Encontrar una función \( \Psi(x, y) \) tal que:

\[
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x, y)
\]

\[
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(x, y)
\]

Integrando \( M(x, y) \) respecto a \( x \) y \( N(x, y) \) respecto a \( y \), y luego combinando, podríamos obtener la solución general.

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina un factor integrante para hacer exacta una ecuación diferencial?
2. ¿Qué significa que una ecuación diferencial sea exacta?
3. ¿Cómo se aplica el método de integración para resolver ecuaciones diferenciales exactas?
4. ¿Qué métodos alternativos existen si una ecuación no es exacta?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de una ecuación diferencial exacta?

**Tip:** Siempre verifica la exactitud antes de intentar resolver la ecuación, ya que puede simplificar el proceso significativamente.

Aprenda cómo verificar si una ecuación diferencial es exacta y encuentre su solución general paso a paso. Este problema cubre conceptos clave como la condición de exactitud y el proceso para determinar la solución general. Adecuado para estudiantes de matemáticas avanzadas.

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