 El radio de una esfera aumenta en el 30 %.
Determine en qu´e porcentaje aumenta su ´area

Para determinar en qué porcentaje aumenta el área de la superficie de una esfera cuando su radio aumenta en un 30%, primero recordemos la fórmula del área superficial de una esfera:

\[
A = 4 \pi r^2
\]

donde \( r \) es el radio de la esfera.

### Paso 1: Determinar el nuevo radio

Si el radio original de la esfera es \( r \) y este aumenta en un 30%, el nuevo radio \( r' \) es:

\[
r' = r + 0.30r = 1.30r
\]

### Paso 2: Calcular el nuevo área de la superficie

Con el nuevo radio \( r' = 1.30r \), el nuevo área de la superficie \( A' \) se calcula como:

\[
A' = 4 \pi (r')^2 = 4 \pi (1.30r)^2
\]

Simplificando:

\[
A' = 4 \pi (1.30)^2 r^2
\]

Calculamos \( (1.30)^2 \):

\[
(1.30)^2 = 1.69
\]

Por lo tanto, el nuevo área es:

\[
A' = 4 \pi (1.69) r^2 = 1.69 \times 4 \pi r^2
\]

### Paso 3: Determinar el incremento porcentual en el área

El incremento porcentual en el área de la superficie se calcula comparando el nuevo área \( A' \) con el área original \( A \):

\[
\text{Incremento porcentual} = \left( \frac{A' - A}{A} \right) \times 100
\]

Sustituyendo \( A = 4 \pi r^2 \) y \( A' = 1.69 \times 4 \pi r^2 \):

\[
\text{Incremento porcentual} = \left( \frac{1.69 \times 4 \pi r^2 - 4 \pi r^2}{4 \pi r^2} \right) \times 100
\]

Simplificamos la fracción:

\[
\text{Incremento porcentual} = \left( \frac{4 \pi r^2 (1.69 - 1)}{4 \pi r^2} \right) \times 100
\]

\[
\text{Incremento porcentual} = (1.69 - 1) \times 100
\]

\[
\text{Incremento porcentual} = 0.69 \times 100
\]

\[
\text{Incremento porcentual} = 69\%
\]

### Conclusión

El área de la superficie de la esfera aumenta en un **69%** cuando el radio de la esfera aumenta en un 30%.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas adicionales relacionadas:
1. ¿Cómo afecta un cambio en el radio al volumen de una esfera?
2. ¿Cuál sería el aumento porcentual en el área si el radio aumenta en un 50%?
3. ¿Qué sucede con el área si el radio se reduce en un 30%?
4. ¿Cómo se calcula el área de superficie de otras figuras tridimensionales como un cilindro o un cono?
5. ¿Cómo se relacionan las fórmulas de área y volumen de una esfera?

**Tip:** Cuando trabajas con incrementos porcentuales, recuerda que los cambios en dimensiones lineales (como el radio) afectan cuadráticamente al área y cúbicamente al volumen.

Discover how the surface area of a sphere increases when its radius increases by 30%. Explore the step-by-step calculation using the surface area formula of a sphere. Suitable for Grades 9-12.

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