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es cálculo integral, me puede decir que tema es, como resolverlo paso a paso, por favor.

La imagen que has proporcionado describe un problema de valor inicial en cálculo diferencial. Aquí, se te pide encontrar la función \( f(x) \) dada una ecuación diferencial de segundo orden, junto con ciertas condiciones iniciales.

### Problema:
Dada la ecuación diferencial:
\[
f''(x) = -2 + 12x - 12x^2
\]
y las condiciones iniciales:
\[
f(0) = 4, \quad f'(0) = 4
\]
se debe encontrar la función \( f(x) \).

### Tema:
Este problema pertenece al tema de **ecuaciones diferenciales ordinarias** (EDO), específicamente a la **solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con condiciones iniciales**.

### Paso a Paso para Resolver el Problema:

1. **Integrar la ecuación diferencial**:
   Dado que \( f''(x) \) es la segunda derivada, debemos integrarla para encontrar la primera derivada \( f'(x) \).

   \[
   f''(x) = -2 + 12x - 12x^2
   \]
   Integrando respecto a \( x \):
   \[
   f'(x) = \int (-2 + 12x - 12x^2) \, dx = -2x + 6x^2 - 4x^3 + C_1
   \]
   donde \( C_1 \) es la constante de integración.

2. **Aplicar la condición inicial \( f'(0) = 4 \)**:
   Utilizando \( f'(0) = 4 \) para encontrar \( C_1 \):
   \[
   f'(0) = -2(0) + 6(0)^2 - 4(0)^3 + C_1 = C_1 = 4
   \]
   Entonces, \( f'(x) = -2x + 6x^2 - 4x^3 + 4 \).

3. **Integrar nuevamente para encontrar \( f(x) \)**:
   Ahora integramos \( f'(x) \) para encontrar \( f(x) \):
   \[
   f(x) = \int (-2x + 6x^2 - 4x^3 + 4) \, dx = -x^2 + 2x^3 - x^4 + 4x + C_2
   \]
   donde \( C_2 \) es otra constante de integración.

4. **Aplicar la condición inicial \( f(0) = 4 \)**:
   Utilizando \( f(0) = 4 \) para encontrar \( C_2 \):
   \[
   f(0) = -(0)^2 + 2(0)^3 - (0)^4 + 4(0) + C_2 = C_2 = 4
   \]
   Por lo tanto, \( f(x) = -x^2 + 2x^3 - x^4 + 4x + 4 \).

### Solución Final:
La función \( f(x) \) que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales es:
\[
f(x) = -x^2 + 2x^3 - x^4 + 4x + 4
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? 

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se reconocen y resuelven las ecuaciones diferenciales de segundo orden en general?
2. ¿Qué tipos de condiciones iniciales pueden darse en problemas de valor inicial?
3. ¿Cómo afecta la presencia de términos cuadráticos o cúbicos en una ecuación diferencial a su solución?
4. ¿Cuál es la interpretación gráfica de las soluciones de una ecuación diferencial?
5. ¿Cómo se puede comprobar si la solución obtenida es correcta?

### Tip:
Para verificar tu solución, siempre puedes derivar la función encontrada y comprobar que satisface la ecuación diferencial original.

Aprende cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden con condiciones iniciales. Este problema cubre el tema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y proporciona una solución detallada paso a paso. Adecuado para estudiantes de nivel universitario.

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