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resuelve esos ejersicios paso a paso y en español

Voy a resolver los ejercicios paso a paso en español.

### Ejercicio a)
**Dado:**
\[ w = \ln\left(\frac{y}{x}\right), \quad x = \tan(t), \quad y = \sec^2(t) \]

Se pide encontrar \(\frac{dw}{dt}\).

**Solución:**

Primero, utilizamos la regla de la cadena para derivar \(w\) con respecto a \(t\):

\[ \frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \]

1. Derivamos \(w\) con respecto a \(x\) e \(y\):

\[ w = \ln\left(\frac{y}{x}\right) \]

Usando la regla del logaritmo natural:

\[ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{\frac{y}{x}} \cdot \left(\frac{-y}{x^2}\right) = -\frac{1}{x} \]

\[ \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \ln\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{\frac{y}{x}} \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{y} \]

2. Derivamos \(x\) e \(y\) con respecto a \(t\):

\[ x = \tan(t) \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{dt} = \sec^2(t) \]

\[ y = \sec^2(t) \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt} = 2\sec(t)\tan(t) \]

3. Sustituyendo en la expresión de la regla de la cadena:

\[ \frac{dw}{dt} = -\frac{1}{x} \cdot \sec^2(t) + \frac{1}{y} \cdot 2\sec(t)\tan(t) \]

Sustituimos \(x = \tan(t)\) e \(y = \sec^2(t)\):

\[ \frac{dw}{dt} = -\frac{1}{\tan(t)} \cdot \sec^2(t) + \frac{1}{\sec^2(t)} \cdot 2\sec(t)\tan(t) \]

\[ \frac{dw}{dt} = -\frac{\sec^2(t)}{\tan(t)} + 2\sec(t)\tan(t) \]

### Ejercicio b)
**Dado:**
\[ w = \sin(xyz^2), \quad x = t^3, \quad y = t^2, \quad z = t \]

Se pide encontrar \(\frac{dw}{dt}\).

**Solución:**

Nuevamente, aplicamos la regla de la cadena:

\[ \frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{dz}{dt} \]

1. Derivamos \(w\) con respecto a \(x\), \(y\) y \(z\):

\[ w = \sin(xyz^2) \]

Usando la regla de la cadena para la función seno:

\[ \frac{\partial w}{\partial x} = \cos(xyz^2) \cdot yz^2 \]

\[ \frac{\partial w}{\partial y} = \cos(xyz^2) \cdot xz^2 \]

\[ \frac{\partial w}{\partial z} = \cos(xyz^2) \cdot 2xyz \]

2. Derivamos \(x\), \(y\) y \(z\) con respecto a \(t\):

\[ \frac{dx}{dt} = 3t^2, \quad \frac{dy}{dt} = 2t, \quad \frac{dz}{dt} = 1 \]

3. Sustituyendo en la expresión de la regla de la cadena:

\[ \frac{dw}{dt} = \cos(xyz^2) \cdot yz^2 \cdot 3t^2 + \cos(xyz^2) \cdot xz^2 \cdot 2t + \cos(xyz^2) \cdot 2xyz \cdot 1 \]

Sustituimos \(x = t^3\), \(y = t^2\) y \(z = t\):

\[ \frac{dw}{dt} = \cos(t^6) \cdot t^2t^2 \cdot 3t^2 + \cos(t^6) \cdot t^3t^2 \cdot 2t + \cos(t^6) \cdot 2t^3t^2 \]

### Ejercicio c)
**Dado:**
\[ z = xy + t + y + x + t, \quad x = rst, \quad y = r + s + t \]

Se pide encontrar \(\left. \frac{\partial z}{\partial t} \right|_{r=s=-1,t=2}\).

**Solución:**

Primero derivamos \(z\) con respecto a \(t\):

\[ z = xy + 2t + y + x \]

1. Derivamos \(z\) con respecto a \(t\):

\[ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(xy + 2t + y + x) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial (xy)}{\partial t} + 2 \]

Dado que \(x = rst\) y \(y = r + s + t\), aplicamos la regla del producto a la derivada de \(xy\) con respecto a \(t\):

\[ \frac{\partial (xy)}{\partial t} = \frac{\partial (rst(r + s + t))}{\partial t} = r(s(r + s + t)) + rst(1) = rs(r + s + t) + rst \]

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial z}{\partial t} = rs(r + s + t) + rst + 2 \]

2. Sustituimos \(r = s = -1\) y \(t = 2\) en la expresión:

\[ \frac{\partial z}{\partial t} = (-1)(-1)(-1 - 1 + 2) + (-1)(-1)(2) + 2 \]

\[ \frac{\partial z}{\partial t} = (1)(0) + 2 + 2 = 4 \]

---

Si necesitas más detalles o tienes alguna pregunta, estoy aquí para ayudar. 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la regla de la cadena cuando hay más de dos variables dependientes?
2. ¿Qué diferencias hay entre la derivada parcial y la total en términos de aplicación?
3. ¿Cómo se derivan funciones compuestas más complejas utilizando la regla de la cadena?
4. ¿Qué sucede si las funciones involucradas no son derivables en un punto específico?
5. ¿Cómo se extiende la regla de la cadena para derivadas de orden superior?

### Tip:
Siempre asegúrate de identificar correctamente las funciones y sus dependencias antes de aplicar la regla de la cadena. Esto es crucial para obtener el resultado correcto.

Aprende cómo resolver ejercicios paso a paso de derivadas en español. Este problema cubre el uso de la regla de la cadena y derivadas parciales para funciones compuestas. Adecuado para estudiantes universitarios y entusiastas de las matemáticas.

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