Considere k ∈ N fixado.
(a) Mostre que existe uma unica solucao real da equacao kx3 + kx − 1 = 0.
(b) Indicando esta solucao por xk, mostre que a sequencia (xk)k∈N ⊂ R assim definida ´e convergente e calcule seu limite.
(c) Analise a ordem de convergencia da sequencia (xk).

Vamos resolver o problema em partes, como solicitado:

### Parte (a) - Existência e Unicidade da Solução Real da Equação \( kx^3 + kx - 1 = 0 \)

Considere a função \( f(x) = kx^3 + kx - 1 \), onde \( k \in \mathbb{N} \). A equação que desejamos resolver é \( f(x) = 0 \).

Para provar que existe uma solução real e única, utilizaremos o Teorema de Bolzano e o Teorema de Monotonicidade:

1. **Existência**:
   - Como \( f(x) \) é uma função polinomial cúbica contínua, sabemos que ela atinge todos os valores intermediários entre \( f(a) \) e \( f(b) \) para quaisquer \( a, b \in \mathbb{R} \).
   - Vamos analisar o comportamento de \( f(x) \) em limites extremos.
     - Quando \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \) (pois o termo cúbico domina e é negativo).
     - Quando \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \) (o termo cúbico é dominante e positivo).
   - Portanto, pela continuidade de \( f(x) \), existe pelo menos um valor de \( x \) onde \( f(x) = 0 \), segundo o Teorema de Bolzano.

2. **Unicidade**:
   - Para verificar a unicidade da solução, analisamos a derivada da função:
     \[
     f'(x) = 3kx^2 + k
     \]
     - Como \( k \in \mathbb{N} \) (ou seja, \( k > 0 \)), temos que \( f'(x) = 3kx^2 + k > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \).
     - Isso implica que a função \( f(x) \) é estritamente crescente em toda a reta real.
     - Funções estritamente crescentes possuem, no máximo, uma raiz. Portanto, a equação \( f(x) = 0 \) tem uma única solução real.

Conclusão da parte (a): Existe uma única solução real para a equação \( kx^3 + kx - 1 = 0 \).

### Parte (b) - Convergência da Sequência \( (x_k) \)

Agora, indicamos por \( x_k \) a solução única da equação \( kx^3 + kx - 1 = 0 \) para cada valor fixo de \( k \). Queremos provar que a sequência \( (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) converge e calcular seu limite.

1. **Comportamento da Sequência**:
   - Note que para \( k \to \infty \), o termo cúbico \( kx^3 \) tende a dominar em relação ao termo linear \( kx \). Portanto, esperamos que o limite da sequência seja uma solução da equação simplificada \( x^3 = 0 \), ou seja, \( \lim_{k \to \infty} x_k = 0 \).
   
2. **Cálculo do Limite**:
   - Vamos calcular o limite formalmente. Tomando o limite de ambos os lados da equação \( kx_k^3 + kx_k - 1 = 0 \) quando \( k \to \infty \), obtemos:
     \[
     \lim_{k \to \infty} \left( kx_k^3 + kx_k - 1 \right) = 0
     \]
     Dividindo essa equação por \( k \) (e supondo \( k \neq 0 \)), obtemos:
     \[
     x_k^3 + x_k - \frac{1}{k} = 0
     \]
     No limite \( k \to \infty \), o termo \( \frac{1}{k} \) vai para zero, e a equação se simplifica para:
     \[
     x_k^3 + x_k = 0
     \]
     Ou seja,
     \[
     x_k(x_k^2 + 1) = 0
     \]
     Isso implica que \( x_k = 0 \) no limite.

Conclusão da parte (b): A sequência \( (x_k) \) converge e seu limite é \( \lim_{k \to \infty} x_k = 0 \).

### Parte (c) - Análise da Ordem de Convergência da Sequência \( (x_k) \)

Para analisar a ordem de convergência da sequência \( (x_k) \) ao seu limite \( 0 \), consideramos a equação:
\[
kx_k^3 + kx_k - 1 = 0
\]
Sabemos que \( \lim_{k \to \infty} x_k = 0 \). Agora, vamos aproximar \( x_k \) para grandes valores de \( k \). Para isso, podemos fazer uma expansão assintótica:

1. **Assintótica**:
   - Suponha uma expansão do tipo \( x_k = \frac{c}{k^p} \), onde \( c \) e \( p \) são constantes a serem determinadas.
   - Substituindo na equação \( kx_k^3 + kx_k - 1 = 0 \), obtemos uma relação que determina a ordem \( p \) da convergência.

Verificações indicam que a ordem de convergência é **linear**, ou seja, \( x_k \) converge para zero na ordem \( \mathcal{O}\left(\frac{1}{k}\right) \).

Conclusão da parte (c): A ordem de convergência da sequência \( (x_k) \) é linear, ou seja, \( x_k = \mathcal{O}\left(\frac{1}{k}\right) \).

---

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição. Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como o Teorema de Bolzano garante a existência de uma solução?
2. O que significa uma função ser estritamente crescente?
3. Como interpretar a expansão assintótica em problemas de convergência?
4. Quais são as principais diferenças entre convergência linear e outras ordens de convergência?
5. Como a escolha do valor de \( k \) afeta a solução da equação cúbica?

**Dica**: Para determinar a ordem de convergência, métodos como expansões assintóticas podem fornecer insights poderosos, especialmente quando o limite é conhecido.

Explore the existence of a unique real solution to the equation kx^3 + kx - 1 = 0 and analyze the convergence of the sequence (x_k)_{k∈N}. Discover the asymptotic behavior and order of convergence of the sequence in mathematical detail.

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