Se ⃗u = (−3,2,1) e ⃗v = (2,0,4) determine:
 (a) ⃗u · ⃗v
 (b) ⃗v · ⃗u
 (c) (2⃗u) · ⃗v
 (d) ⃗u · (⃗i +⃗v)

Vamos resolver cada parte do problema considerando os vetores \( \vec{u} = (-3, 2, 1) \) e \( \vec{v} = (2, 0, 4) \).

### Parte (a): \( \vec{u} \cdot \vec{v} \)

O produto escalar \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) entre dois vetores \( \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \) e \( \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \) é dado por:

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
\]

Substituindo os valores dos vetores:

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(2) + (2)(0) + (1)(4) = -6 + 0 + 4 = -2
\]

### Parte (b): \( \vec{v} \cdot \vec{u} \)

O produto escalar é comutativo, ou seja, \( \vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v} \). Portanto:

\[
\vec{v} \cdot \vec{u} = -2
\]

### Parte (c): \( (2\vec{u}) \cdot \vec{v} \)

Neste caso, temos que multiplicar o vetor \( \vec{u} \) por 2 e depois realizar o produto escalar com \( \vec{v} \):

\[
2\vec{u} = 2(-3, 2, 1) = (-6, 4, 2)
\]

Agora, calculamos o produto escalar:

\[
(2\vec{u}) \cdot \vec{v} = (-6)(2) + (4)(0) + (2)(4) = -12 + 0 + 8 = -4
\]

### Parte (d): \( \vec{u} \cdot (\vec{i} + \vec{v}) \)

Aqui, \( \vec{i} \) é o vetor unitário na direção do eixo \( x \), ou seja, \( \vec{i} = (1, 0, 0) \).

Primeiro, somamos os vetores \( \vec{i} \) e \( \vec{v} \):

\[
\vec{i} + \vec{v} = (1, 0, 0) + (2, 0, 4) = (3, 0, 4)
\]

Agora, calculamos o produto escalar de \( \vec{u} \) com \( \vec{i} + \vec{v} \):

\[
\vec{u} \cdot (\vec{i} + \vec{v}) = (-3)(3) + (2)(0) + (1)(4) = -9 + 0 + 4 = -5
\]

### Resumo das Respostas:
- (a) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \)
- (b) \( \vec{v} \cdot \vec{u} = -2 \)
- (c) \( (2\vec{u}) \cdot \vec{v} = -4 \)
- (d) \( \vec{u} \cdot (\vec{i} + \vec{v}) = -5 \)

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir o conhecimento:
1. Como interpretar geometricamente o resultado do produto escalar de dois vetores?
2. O que ocorre quando um vetor é multiplicado por um escalar antes do produto escalar?
3. Como o produto escalar se relaciona com o cosseno do ângulo entre dois vetores?
4. Quais são as propriedades fundamentais do produto escalar?
5. Como o produto escalar é usado para determinar a ortogonalidade entre vetores?

**Dica:** Multiplicar um vetor por um escalar antes de realizar o produto escalar afeta diretamente a magnitude do resultado final.

Explore the calculation of vector dot product properties using example problems. Learn how to determine dot product, scalar multiplication effects, and application of vector operations. Suitable for high school students.

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