Sean los vectores 𝐴⃑ = 3𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘 y 𝐵⃑⃑ = 2𝑖 − 4𝑗 + 3𝑘 Hallar:
 a) El producto 𝐴⃑
o 𝐵⃑⃑
 b) El producto 𝐴⃑
X 𝐵⃑⃑
 c) El Angulo entre 𝐴⃑ y 𝐵⃑

Dado que tenemos los vectores \(\vec{A} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}\) y \(\vec{B} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}\), vamos a calcular:

### a) Producto punto \(\vec{A} \cdot \vec{B}\)
El producto punto de dos vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) está dado por:

\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x \cdot B_x) + (A_y \cdot B_y) + (A_z \cdot B_z)
\]

Sustituyendo los valores:

\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = (3 \cdot 2) + (5 \cdot -4) + (-2 \cdot 3)
\]

\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = 6 - 20 - 6 = -20
\]

### b) Producto cruz \(\vec{A} \times \vec{B}\)
El producto cruz de \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) se calcula usando el determinante de la siguiente matriz:

\[
\vec{A} \times \vec{B} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & 5 & -2 \\
2 & -4 & 3 \\
\end{vmatrix}
\]

Calculamos el determinante:

\[
\vec{A} \times \vec{B} = \hat{i} \left( 5(3) - (-2)(-4) \right) - \hat{j} \left( 3(3) - (-2)(2) \right) + \hat{k} \left( 3(-4) - 5(2) \right)
\]

\[
\vec{A} \times \vec{B} = \hat{i} (15 - 8) - \hat{j} (9 + 4) + \hat{k} (-12 - 10)
\]

\[
\vec{A} \times \vec{B} = 7\hat{i} - 13\hat{j} - 22\hat{k}
\]

Entonces, el producto cruz es:

\[
\vec{A} \times \vec{B} = 7\hat{i} - 13\hat{j} - 22\hat{k}
\]

### c) El ángulo entre \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\)
El ángulo \(\theta\) entre los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

\[
\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}
\]

Primero, calculamos las magnitudes de \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\):

\[
|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}
\]

\[
|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}
\]

Ahora, podemos encontrar \(\cos \theta\):

\[
\cos \theta = \frac{-20}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{29}}
\]

\[
\cos \theta = \frac{-20}{\sqrt{1102}}
\]

Finalmente, el ángulo \(\theta\) es:

\[
\theta = \cos^{-1} \left(\frac{-20}{\sqrt{1102}}\right)
\]

Puedes calcular el valor exacto del ángulo utilizando una calculadora.

---

¿Quieres detalles adicionales o alguna pregunta sobre los cálculos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa que el producto punto sea negativo?
2. ¿Cómo se interpreta el resultado del producto cruz?
3. ¿Qué ocurre si el producto cruz entre dos vectores es el vector nulo?
4. ¿Cómo afectaría cambiar uno de los vectores en magnitud y dirección al ángulo entre ellos?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen estos cálculos en física o ingeniería?

**Tip:** El producto cruz entre dos vectores siempre resulta en un vector perpendicular a ambos, lo que es útil para determinar direcciones normales en planos tridimensionales.

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