 Considere los vectores 𝐴̅= 573 𝑚 , 120° y 𝐵̅ = 70 𝑖̂− 94𝑗̂
a. Encuentre un vector 𝐶̅= 3𝐵̅
b. Obtenga el producto 𝐴̅ʘ𝐵̅
c. Obtenga el producto 𝐴̅⊛ 𝐵̅ Reporte su magnitud y sentido
d. Obtenga el producto 𝐴̅⊛ 𝐶̅Reporte la respuesta en:
• Pares de puntos
• Unitarios
• Polares

Vamos a resolver los problemas utilizando los vectores dados:

### Datos de los vectores:
- **\(\vec{A} = 573\) m, \(120^\circ\)** (Vector en forma polar)
- **\(\vec{B} = 70\hat{i} - 94\hat{j}\)** (Vector en forma cartesiana)

### a. Encontrar el vector \(\vec{C} = 3\vec{B}\):

Para multiplicar un vector por un escalar, multiplicamos cada componente del vector por el escalar dado.

\[
\vec{C} = 3\vec{B} = 3(70\hat{i} - 94\hat{j}) = (210\hat{i} - 282\hat{j})
\]

Entonces, el vector \(\vec{C}\) en forma cartesiana es:
\[
\vec{C} = 210\hat{i} - 282\hat{j}
\]

### b. Obtener el producto escalar \(\vec{A} \cdot \vec{B}\):

Primero, convertimos el vector \(\vec{A}\) de su forma polar a su forma cartesiana. Para esto usamos las siguientes relaciones:
- Componente en \(x\): \(A_x = A \cos \theta\)
- Componente en \(y\): \(A_y = A \sin \theta\)

\[
A_x = 573 \cos 120^\circ = 573 \times (-0.5) = -286.5 \, \text{m}
\]
\[
A_y = 573 \sin 120^\circ = 573 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 573 \times 0.866 = 496.218 \, \text{m}
\]

Por lo tanto, \(\vec{A} = -286.5\hat{i} + 496.218\hat{j}\).

Ahora, el producto escalar entre \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) se calcula como:
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y
\]

\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = (-286.5)(70) + (496.218)(-94)
\]
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = -20055 - 46644.492 \approx -66699.492 \, \text{m}^2
\]

### c. Obtener el producto vectorial \(\vec{A} \times \vec{B}\):

El producto vectorial se calcula utilizando el determinante de la matriz formada por los vectores unitarios \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) y los componentes de los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\):

\[
\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}
\]

Dado que ambos vectores están en el plano xy, \(A_z = B_z = 0\). Esto simplifica el determinante a:

\[
\vec{A} \times \vec{B} = \hat{k}(A_x B_y - A_y B_x)
\]

Sustituyendo los valores:
\[
\vec{A} \times \vec{B} = \hat{k}[(-286.5)(-94) - (496.218)(70)]
\]
\[
\vec{A} \times \vec{B} = \hat{k}[26931 - 34735.26] \approx \hat{k}(-7804.26) \, \text{m}^2/\text{s}
\]

- **Magnitud**: \(7804.26 \, \text{m}^2/\text{s}\)
- **Sentido**: La dirección del producto vectorial es perpendicular al plano definido por \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), en la dirección \(\hat{k}\) (hacia arriba o hacia abajo dependiendo del sistema de referencia, aquí hacia el plano negativo).

### d. Obtener el producto vectorial \(\vec{A} \times \vec{C}\):

Como \(\vec{C} = 3\vec{B}\), calculamos:

\[
\vec{A} \times \vec{C} = \vec{A} \times (3\vec{B}) = 3(\vec{A} \times \vec{B})
\]

Entonces:
\[
\vec{A} \times \vec{C} \approx 3(-7804.26\hat{k}) \approx -23412.78\hat{k} \, \text{m}^2/\text{s}
\]

#### Reporte de la respuesta en diferentes formas:
- **Pares de puntos**: No aplicable directamente aquí ya que no hay un sistema de puntos definido.
- **Forma unitaria (cartesiana)**:
  \[
  \vec{A} \times \vec{C} = -23412.78\hat{k} \, \text{m}^2/\text{s}
  \]
- **Forma polar**:
  Magnitud: \(23412.78 \, \text{m}^2/\text{s}\), con dirección en el eje \(z\) negativo (\(\hat{k}\)).

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cuál es la interpretación física del producto escalar entre dos vectores?
2. ¿Qué significa que un vector tenga componentes negativas en un sistema cartesiano?
3. ¿Cómo se interpreta el producto vectorial en términos de área?
4. ¿Qué sucede si los vectores son paralelos en el producto vectorial?
5. ¿Cómo se determina la dirección del producto vectorial usando la regla de la mano derecha?

### Tip:
El producto vectorial no solo da una magnitud sino también una dirección, que es crucial en problemas que involucran rotaciones o momentos.

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