Se A,B,C e D s˜ao v´ertices de um triˆangulo equil´atero de lado medindo 1,
 determine o valor de:
 (a) ⃗
 AB· ⃗ AC
 (b) ⃗
 AB· ⃗ BC
 (c) ( ⃗
 AB+ ⃗ BC)· ⃗ CA

Vamos resolver as três partes do problema, considerando que \( A \), \( B \), \( C \) e \( D \) são vértices de um triângulo equilátero com lados de comprimento \( 1 \).

### Parte (a): \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \)

Para um triângulo equilátero, o ângulo entre dois vetores que representam dois lados consecutivos é de \( 60^\circ \). 

A fórmula do produto escalar entre dois vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é dada por:

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)
\]

Aqui, \( |\vec{AB}| = |\vec{AC}| = 1 \) e \( \theta = 60^\circ \). Portanto:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

### Parte (b): \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} \)

Neste caso, vamos determinar o ângulo entre os vetores \( \vec{AB} \) e \( \vec{BC} \). Como o triângulo é equilátero e \( B \) e \( C \) são vértices consecutivos com \( A \), o ângulo entre \( \vec{AB} \) e \( \vec{BC} \) é de \( 120^\circ \).

Aplicando a fórmula do produto escalar:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}
\]

### Parte (c): \( (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot \vec{CA} \)

Para calcular isso, primeiro somamos os vetores \( \vec{AB} \) e \( \vec{BC} \):

\[
\vec{AB} + \vec{BC} 
\]

Note que \( \vec{AB} + \vec{BC} \) é o vetor \( \vec{AC} \), já que o vetor \( \vec{BC} \) desloca o ponto \( B \) até \( C \), então:

\[
(\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot \vec{CA} = \vec{AC} \cdot \vec{CA}
\]

Agora, sabemos que \( \vec{AC} \cdot \vec{CA} \) é simplesmente o produto escalar de um vetor consigo mesmo, o que dá o quadrado da magnitude do vetor:

\[
\vec{AC} \cdot \vec{CA} = |\vec{AC}|^2 = 1^2 = 1
\]

### Resumo das Respostas:
- (a) \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \)
- (b) \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = -\frac{1}{2} \)
- (c) \( (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot \vec{CA} = 1 \)

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir o conhecimento:
1. Como determinar a coordenada dos vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano?
2. Como generalizar o produto escalar para vetores em três dimensões?
3. O que acontece com o produto escalar se os vetores forem ortogonais?
4. Como o produto vetorial se diferencia do produto escalar?
5. Qual é a interpretação geométrica do produto escalar em termos de projeção de vetores?

**Dica:** O produto escalar entre dois vetores pode ser útil para determinar o ângulo entre eles. Se o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Explore how to calculate dot products in an equilateral triangle with sides of length 1. Solve for \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \), \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} \), and more. This problem involves vector algebra and triangle geometry, suitable for high school students.

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