Berechne Varianz und Standardabweichung der Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln!
Interpretiere die Ergebnisse im Zusammenhang mit häufigem Wurf zweier Würfel!

Beim Wurf mit zwei Würfeln betrachten wir die Augensumme der beiden Würfel. Jeder Würfel hat 6 Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6, und es gibt insgesamt \(6 \times 6 = 36\) mögliche Ergebnisse (da beide Würfel unabhängig sind).

### Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die möglichen Augensummen der beiden Würfel reichen von \(2\) (1+1) bis \(12\) (6+6). Die Wahrscheinlichkeiten für jede Augensumme variieren, da einige Augensummen häufiger auftreten als andere.

| Augensumme | Anzahl der Möglichkeiten | Wahrscheinlichkeit |
|------------|--------------------------|--------------------|
| 2          | 1                        | \(\frac{1}{36}\)   |
| 3          | 2                        | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) |
| 4          | 3                        | \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\) |
| 5          | 4                        | \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)  |
| 6          | 5                        | \(\frac{5}{36}\)   |
| 7          | 6                        | \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)  |
| 8          | 5                        | \(\frac{5}{36}\)   |
| 9          | 4                        | \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)  |
| 10         | 3                        | \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\) |
| 11         | 2                        | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) |
| 12         | 1                        | \(\frac{1}{36}\)   |

### Erwartungswert \(E(X)\)
Der Erwartungswert \(E(X)\) der Augensumme ist das gewichtete Mittel der möglichen Augensummen, also:

\[
E(X) = \sum_{x} x \cdot P(x)
\]

Das ergibt:

\[
E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}
\]

Das berechnet sich zu:

\[
E(X) = 7
\]

### Varianz \(Var(X)\)
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung von \(E(X)\). Sie berechnet sich als:

\[
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
\]

Zuerst berechnen wir \(E(X^2)\):

\[
E(X^2) = 2^2 \cdot \frac{1}{36} + 3^2 \cdot \frac{2}{36} + 4^2 \cdot \frac{3}{36} + 5^2 \cdot \frac{4}{36} + 6^2 \cdot \frac{5}{36} + 7^2 \cdot \frac{6}{36} + 8^2 \cdot \frac{5}{36} + 9^2 \cdot \frac{4}{36} + 10^2 \cdot \frac{3}{36} + 11^2 \cdot \frac{2}{36} + 12^2 \cdot \frac{1}{36}
\]

Das ergibt:

\[
E(X^2) = 54.83
\]

Jetzt können wir die Varianz berechnen:

\[
Var(X) = 54.83 - 7^2 = 54.83 - 49 = 5.83
\]

### Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz:

\[
\sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{5.83} \approx 2.41
\]

### Interpretation der Ergebnisse
- Der **Erwartungswert von 7** bedeutet, dass bei sehr vielen Würfen von zwei Würfeln die durchschnittliche Augensumme tendenziell 7 beträgt. 
- Die **Varianz von 5.83** und die **Standardabweichung von 2.41** zeigen, wie stark die Augensummen um diesen Mittelwert schwanken. Eine Standardabweichung von 2.41 bedeutet, dass die Augensummen typischerweise um etwa 2.41 Einheiten vom Erwartungswert abweichen.

**Bei häufigem Würfeln** wäre es also am wahrscheinlichsten, Augensummen in der Nähe von 7 zu erhalten, aber aufgrund der Varianz kann man auch höhere oder niedrigere Summen beobachten. Summen wie 2 oder 12 sind jedoch selten.

---

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Hier sind 5 verwandte Fragen:
1. Wie berechnet man den Erwartungswert bei anderen Würfeln?
2. Wie ändert sich die Varianz, wenn mehr Würfel verwendet werden?
3. Wie beeinflusst die Wahrscheinlichkeitsverteilung den Erwartungswert?
4. Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
5. Wie könnte man diese Ergebnisse grafisch darstellen?

**Tipp:** Bei der Berechnung von Varianz und Standardabweichung hilft es oft, die Daten grafisch darzustellen, z. B. mit Histogrammen.

Berechne Varianz und Standardabweichung der Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln! Interpretiere die Ergebnisse im Zusammenhang mit häufigem Wurf zweier Würfel!

Lerne, wie man die Varianz und Standardabweichung der Augensumme bei einem Wurf mit zwei Würfeln berechnet. Diese Lösung zeigt Schritt für Schritt, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung, der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung ermittelt werden. Ideal für Schüler der Klassen 9-12.

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