Tabellarisch (Mit Zufallsgrößen und Erwartungswert Berechnung) 

Um den Gewinn \( G \) des Reifenherstellers pro Reifen tabellarisch darzustellen und den Erwartungswert zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

### Schritt 1: Definition der Zufallsgrößen
Wir definieren die Zufallsgröße \( X \) als den Gewinn pro Reifen:

- \( X_1 \): Gewinn bei einem mängelfreien Reifen.
- \( X_2 \): Verlust bei einem mangelhaften Reifen.

### Schritt 2: Werte der Zufallsgrößen
- \( X_1 = 16 \, \text{€} \) (Gewinn bei einem mängelfreien Reifen)
- \( X_2 = -36 \, \text{€} \) (Verlust bei einem mangelhaften Reifen)

### Schritt 3: Wahrscheinlichkeiten
- \( P(X_1) = 0{,}75 \) (Wahrscheinlichkeit für einen mängelfreien Reifen)
- \( P(X_2) = 0{,}25 \) (Wahrscheinlichkeit für einen mangelhaften Reifen)

### Schritt 4: Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert \( E(X) \) des Gewinns pro Reifen wird berechnet durch:

\[
E(X) = X_1 \cdot P(X_1) + X_2 \cdot P(X_2)
\]

### Schritt 5: Tabelle
| Zufallsgröße \( X \)  | Wert von \( X \) (in €) | Wahrscheinlichkeit \( P(X) \) | Beitrag zum Erwartungswert \( X \cdot P(X) \) |
|-----------------------|--------------------------|--------------------------------|----------------------------------------------|
| \( X_1 \) (mängelfrei)  | 16 €                     | 0,75                           | \( 16 \cdot 0{,}75 = 12 \) €                 |
| \( X_2 \) (mangelhaft) | -36 €                    | 0,25                           | \( -36 \cdot 0{,}25 = -9 \) €                |

### Schritt 6: Erwartungswert \( E(X) \) berechnen
\[
E(X) = 12 \, \text{€} + (-9 \, \text{€}) = 3 \, \text{€}
\]

### Ergebnis
Der erwartete Gewinn des Reifenherstellers pro Reifen beträgt **3 €**.

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen?

Weitere Fragen könnten sein:

1. Wie könnte der Gewinn variieren, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen mangelhaften Reifen auf 20 % sinkt?
2. Wie würde sich der Erwartungswert ändern, wenn der Verkaufspreis auf 28 € steigt?
3. Was wäre der erwartete Gewinn, wenn die Rücktransportkosten auf 6 € steigen?
4. Wie könnte eine Sensitivitätsanalyse des Gewinns durchgeführt werden?
5. Welche Rolle spielt der Erwartungswert bei der langfristigen Produktionsplanung?

**Tipp:** Das Verständnis der Wahrscheinlichkeiten und deren Einfluss auf den Erwartungswert kann helfen, Risiken in der Produktion besser zu managen.

Erfahren Sie, wie der Erwartungswert eines Gewinns pro Reifen mit Zufallsgrößen berechnet wird. Die Lösung beinhaltet eine detaillierte tabellarische Darstellung der Gewinnwerte und deren Wahrscheinlichkeiten. Berechnungsschritte und Ergebnisse werden ausführlich erklärt.

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