Ein italienischer Hersteller produziert Arduino-Boards. Er liefert 300
 Boards an einen Elektronikvertrieb. 40
 von diesen 300
 Boards sind defekt. Sie bestellen bei diesem Vertrieb 12
 Arduino-Boards. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2
 oder mehr der Boards defekt sind?

Dies ist ein klassisches Problem der **hypergeometrischen Verteilung**, da wir ohne Zurücklegen (d.h. ohne Ersetzen der ausgewählten Boards) aus einer begrenzten Population von defekten und nicht defekten Boards ziehen.

### Gegebene Werte:
- Gesamtzahl der Boards \( N = 300 \)
- Anzahl der defekten Boards \( D = 40 \)
- Anzahl der nicht defekten Boards \( N - D = 300 - 40 = 260 \)
- Anzahl der bestellten Boards \( n = 12 \)

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass **2 oder mehr** der bestellten Boards defekt sind. Um dies zu berechnen, gehen wir den umgekehrten Weg und bestimmen die Wahrscheinlichkeit, dass **kein defektes Board** oder **nur 1 defektes Board** geliefert wird, und ziehen diese von 1 ab.

### Wahrscheinlichkeiten:
1. **Kein defektes Board**: 
    \[
    P(X = 0) = \frac{\binom{40}{0} \binom{260}{12}}{\binom{300}{12}}
    \]

2. **Genau 1 defektes Board**: 
    \[
    P(X = 1) = \frac{\binom{40}{1} \binom{260}{11}}{\binom{300}{12}}
    \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder mehr Boards defekt sind, ist:
\[
P(X \geq 2) = 1 - \left(P(X = 0) + P(X = 1)\right)
\]

Ich werde diese Werte nun berechnen.Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder mehr der bestellten Arduino-Boards defekt sind, beträgt etwa **49,23%**.

Möchten Sie weitere Details zu den Berechnungen oder haben Sie Fragen dazu?

Hier sind fünf weiterführende Fragen:
1. Wie wird die hypergeometrische Verteilung allgemein definiert?
2. Was ist der Unterschied zwischen der hypergeometrischen und der binomialen Verteilung?
3. Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit ändern, wenn nur 5 Boards bestellt würden?
4. Welche Annahmen werden bei der hypergeometrischen Verteilung getroffen?
5. Wie beeinflusst die Anzahl der defekten Boards die Wahrscheinlichkeit?

**Tipp:** In der hypergeometrischen Verteilung wird keine Rücksetzung gemacht, das heißt, jede Auswahl beeinflusst die verbleibenden Möglichkeiten.

Ein italienischer Hersteller produziert Arduino-Boards. Er liefert 300 Boards an einen Elektronikvertrieb. 40 von diesen 300 Boards sind defekt. Sie bestellen bei diesem Vertrieb 12 Arduino-Boards. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder mehr der Boards defekt sind?

Erfahren Sie, wie Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass 2 oder mehr von 12 bestellten Arduino-Boards defekt sind, basierend auf der hypergeometrischen Verteilung. Der Hersteller liefert 300 Boards, von denen 40 defekt sind. Die Lösung umfasst wichtige Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie und die Berechnung über die hypergeometrische Verteilung.

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