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La función de costo total que se nos da es:

\[
C(x) = 40 + 300x - 20x^2 + \frac{4}{3}x^3
\]

Para encontrar el costo marginal, debemos derivar la función de costo total \(C(x)\) con respecto a \(x\). La derivada de \(C(x)\) nos dará el costo marginal \(C'(x)\):

\[
C'(x) = \frac{d}{dx}\left(40 + 300x - 20x^2 + \frac{4}{3}x^3\right)
\]

Ahora, derivamos cada término de la función:

1. La derivada de una constante, como \(40\), es \(0\).
2. La derivada de \(300x\) es \(300\).
3. La derivada de \(-20x^2\) es \(-40x\).
4. La derivada de \(\frac{4}{3}x^3\) es \(4x^2\).

Por lo tanto, la derivada \(C'(x)\) es:

\[
C'(x) = 300 - 40x + 4x^2
\]

Esta es la función que representa el costo marginal.

¿Te gustaría más detalles sobre cómo encontrar el punto en donde el costo marginal es mínimo?

---

**Preguntas Relativas:**
1. ¿Cómo se interpreta el costo marginal en términos económicos?
2. ¿Cómo puedes verificar si el costo marginal realmente tiene un mínimo?
3. ¿Cuál es la relación entre el costo marginal y la función de costo total?
4. ¿Cómo afecta el signo de la derivada segunda a la concavidad de la función?
5. ¿Qué implicaciones tiene el valor mínimo del costo marginal para la empresa?

**Tip:** Para encontrar el punto en donde una función es mínima, puedes derivar nuevamente (segunda derivada) y comprobar si esta es positiva en el punto crítico.

Explore how to find the derivative of a cost function to determine marginal cost. Learn step-by-step with examples of economic interpretations. Suitable for advanced high school students and beyond.

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