Qual alternativa descreve a parte do cilindro abaixo em coordenadas cilíndricas?                                                                tem coordenada z=(0,0,2), y=(0,2,0), x=(-2,0,0)                                                                                                                                    a) r=4, 0≤θ≤3π/4, 0≤z≤1
 


b.
r=2, π/2≤θ≤π, 0≤z≤2


c.
r=2, 0≤θ≤π/4, 0≤z≤2


d.
r=1, 0≤θ≤π, 0≤z≤2


e.
r=2, π/4≤θ≤π, 0≤z≤2

Para resolver essa questão, precisamos converter as coordenadas cartesianas dadas (x, y, z) para coordenadas cilíndricas \((r, \theta, z)\) e identificar qual das alternativas representa corretamente a região especificada.

### Coordenadas fornecidas:
- \( (x, y, z) = (0, 0, 2) \)
- \( (x, y, z) = (0, 2, 0) \)
- \( (x, y, z) = (-2, 0, 0) \)

### Conversão para coordenadas cilíndricas:
1. **Para o ponto (0, 0, 2):**
   - \( z = 2 \) (coordenada z)
   - \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \)
   - \( \theta \) não é definido (porque \(r = 0\)), mas o ponto está no eixo z.

2. **Para o ponto (0, 2, 0):**
   - \( z = 0 \) (coordenada z)
   - \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \)
   - \( \theta = \frac{\pi}{2} \) (porque \(y > 0\) e \(x = 0\))

3. **Para o ponto (-2, 0, 0):**
   - \( z = 0 \) (coordenada z)
   - \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 \)
   - \( \theta = \pi \) (porque \(x < 0\) e \(y = 0\))

### Análise das alternativas:
- **Alternativa A:** \( r = 4, 0 \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}, 0 \leq z \leq 1 \)
  - Aqui, \( r = 4 \) é inconsistente, pois os pontos têm \( r = 2 \).

- **Alternativa B:** \( r = 2, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi, 0 \leq z \leq 2 \)
  - Esta alternativa descreve corretamente os pontos (r = 2, \( \theta \) entre \(\frac{\pi}{2}\) e \(\pi\)) e \( z \) variando entre 0 e 2.

- **Alternativa C:** \( r = 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}, 0 \leq z \leq 2 \)
  - Aqui, \( \theta \) não cobre a região correta.

- **Alternativa D:** \( r = 1, 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq z \leq 2 \)
  - \( r = 1 \) está incorreto.

- **Alternativa E:** \( r = 2, \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \pi, 0 \leq z \leq 2 \)
  - Aqui, a faixa de \( \theta \) não inclui todos os pontos necessários.

### Resposta correta:
A alternativa **B** é a correta: **\( r = 2, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi, 0 \leq z \leq 2 \)**.

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**Dica:** Lembre-se de que em coordenadas cilíndricas, \( r \) representa a distância radial do ponto ao eixo \(z\), \( \theta \) é o ângulo no plano xy, e \(z\) é a altura do ponto ao longo do eixo \(z\).

Explore the solution to converting Cartesian coordinates to cylindrical coordinates and identifying correct geometric regions. This problem involves understanding cylindrical coordinate conversions and their application to geometric regions in space. Suitable for advanced high school students and college-level learners.

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