Qual alternativa descreve a parte do cilindro abaixo em coordenadas cilíndricas?
coordenadas z=(0,0,2), x=(2,2,0), y=(-2,2,0)


Questão 6Escolha uma opção:

a.
r=2√2,0≤θ≤π/4,0≤z≤2


b.
r=2,π/2≤θ≤π,0≤z≤2


c.
r=2√2,π/4≤θ≤3π/4,0≤z≤2


d.
r=4,π/4≤θ≤3π/4,0≤z≤1


e.
r=1,π/2≤θ≤3π/2,0≤z≤2

Para resolver essa questão, vamos analisar as coordenadas dadas e convertê-las para coordenadas cilíndricas, que são expressas por \((r, \theta, z)\). 

**Coordenadas cilíndricas**:
- \(r\) é a distância do ponto até o eixo \(z\).
- \(\theta\) é o ângulo que o raio \(r\) faz com o eixo \(x\) no plano \(xy\).
- \(z\) é a coordenada no eixo \(z\), que é a mesma que a coordenada cartesiana \(z\).

### Passo 1: Convertendo os pontos para coordenadas cilíndricas

1. **Ponto \( (0, 0, 2) \)**: 
   - Esse ponto já está no eixo \(z\), então \( r = 0 \), \( \theta \) pode ser qualquer valor e \( z = 2 \).

2. **Ponto \( (2, 2, 0) \)**:
   - \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
   - \( \theta = \tan^{-1}(y/x) = \tan^{-1}(2/2) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \)
   - \( z = 0 \)

3. **Ponto \( (-2, 2, 0) \)**:
   - \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
   - \( \theta = \tan^{-1}(y/x) = \tan^{-1}(2/(-2)) = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} \)
   - \( z = 0 \)

### Passo 2: Analisando as alternativas

1. **Alternativa a: \( r=2\sqrt{2}, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}, 0 \leq z \leq 2 \)**
   - \( r = 2\sqrt{2} \) está correto para os pontos dados.
   - Mas o intervalo de \(\theta\) (de \(0\) a \(\frac{\pi}{4}\)) inclui apenas o ponto \((2, 2, 0)\) e não o ponto \((-2, 2, 0)\), que tem \(\theta = \frac{3\pi}{4}\).
   - Portanto, essa alternativa está incorreta.

2. **Alternativa b: \( r=2, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi, 0 \leq z \leq 2 \)**
   - \( r = 2 \) está incorreto; deveria ser \( 2\sqrt{2} \).
   - Esta alternativa está incorreta.

3. **Alternativa c: \( r=2\sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}, 0 \leq z \leq 2 \)**
   - \( r = 2\sqrt{2} \) está correto.
   - O intervalo de \(\theta\) (de \( \frac{\pi}{4} \) a \( \frac{3\pi}{4} \)) abrange ambos os pontos \((2, 2, 0)\) e \((-2, 2, 0)\).
   - \( z \) também está no intervalo correto.
   - Essa alternativa parece correta.

4. **Alternativa d: \( r=4, \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}, 0 \leq z \leq 1 \)**
   - \( r = 4 \) está incorreto; deveria ser \( 2\sqrt{2} \).
   - Esta alternativa está incorreta.

5. **Alternativa e: \( r=1, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}, 0 \leq z \leq 2 \)**
   - \( r = 1 \) está incorreto; deveria ser \( 2\sqrt{2} \).
   - Esta alternativa está incorreta.

### Resposta correta:
**Alternativa c**: \( r=2\sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}, 0 \leq z \leq 2 \).

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

---

Aqui estão 5 questões relacionadas:

1. Como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas?
2. Quais são as aplicações das coordenadas cilíndricas em física?
3. Como encontrar o volume de um cilindro usando coordenadas cilíndricas?
4. Qual a diferença entre coordenadas cilíndricas e esféricas?
5. Como calcular a integral de superfície em coordenadas cilíndricas?

**Dica**: Coordenadas cilíndricas são especialmente úteis para problemas envolvendo simetria rotacional ao redor de um eixo.

Explore the solution to a cylindrical coordinates problem involving conversion and interpretation. Learn the steps to convert Cartesian coordinates to cylindrical coordinates, with detailed explanations and examples.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation