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responde en español y no expliques, solo sustituye datos


Para convertir los vectores en coordenadas cartesianas, sustituimos las relaciones correspondientes de coordenadas cilíndricas y esféricas:

### a) Vector \( \mathbf{C} \)
Se da en coordenadas cilíndricas. Las relaciones son:

- \( a_\rho = \cos \phi \hat{i} + \sin \phi \hat{j} \)
- \( a_\phi = -\sin \phi \hat{i} + \cos \phi \hat{j} \)
- \( a_z = \hat{k} \)

Por lo tanto, para el vector \( \mathbf{C} \):

\[
\mathbf{C} = z \sin \phi (-\sin \phi \hat{i} + \cos \phi \hat{j}) - \rho \cos \phi (\cos \phi \hat{i} + \sin \phi \hat{j}) + 2\rho \hat{k}
\]

Ahora, desarrollamos los productos:

\[
\mathbf{C} = -z \sin \phi \sin \phi \hat{i} + z \sin \phi \cos \phi \hat{j} - \rho \cos^2 \phi \hat{i} - \rho \cos \phi \sin \phi \hat{j} + 2\rho \hat{k}
\]

Simplificando:

\[
\mathbf{C} = (-z \sin^2 \phi - \rho \cos^2 \phi) \hat{i} + (z \sin \phi \cos \phi - \rho \cos \phi \sin \phi) \hat{j} + 2\rho \hat{k}
\]

Finalmente:

\[
\mathbf{C} = (-z \sin^2 \phi - \rho \cos^2 \phi) \hat{i} + (z - \rho) \sin \phi \cos \phi \hat{j} + 2\rho \hat{k}
\]

---

### b) Vector \( \mathbf{D} \)
Se da en coordenadas esféricas. Las relaciones son:

- \( a_r = \frac{x}{r} \hat{i} + \frac{y}{r} \hat{j} + \frac{z}{r} \hat{k} \)
- \( a_\theta = \frac{z}{r} \hat{r} - \hat{k} \)

Por lo tanto, para el vector \( \mathbf{D} \):

\[
\mathbf{D} = \frac{\sin \theta}{r^2} a_r + \frac{\cos \theta}{r^2} a_\theta
\]

Sustituyendo las expresiones de \( a_r \) y \( a_\theta \):

\[
\mathbf{D} = \frac{\sin \theta}{r^2} \left( \frac{x}{r} \hat{i} + \frac{y}{r} \hat{j} + \frac{z}{r} \hat{k} \right) + \frac{\cos \theta}{r^2} \left( \frac{z}{r} \hat{r} - \hat{k} \right)
\]



Convierte los vectores siguientes en coordenadas cartesianas: a) C = z sen φ aφ - ρ cos φ aρ + 2ρ az b) D = sen θ / r² aₜ + cos θ / r² aθ

Convert the given vectors from cylindrical and spherical coordinates into Cartesian coordinates. This problem involves coordinate transformations, vector fields, and advanced concepts in physics and mathematics.

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