Resolverá cada ejercicio o problema en forma clara y ordenada mostrando todo el procedimiento.

Trace las gráficas de las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas; establezca su dominio y rango, intervalos de crecimiento o decrecimiento, interceptos con los ejes, ecuación de asíntotas (haga tabla de valores cuando lo considere necesario). 



¡Entendido! Vamos a trazar las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas y analizarlas de acuerdo con los criterios que mencionas. Consideraré un par de ejemplos comunes de cada tipo de función y proporcionaré toda la información necesaria, como el dominio, el rango, los intervalos de crecimiento o decrecimiento, interceptos con los ejes y las asíntotas.

### Ejemplo de Función Exponencial: \( f(x) = 2^x \)

1. **Dominio:** El dominio de la función \( f(x) = 2^x \) es \( (-\infty, \infty) \) porque podemos elevar 2 a cualquier número real.

2. **Rango:** El rango de la función \( f(x) = 2^x \) es \( (0, \infty) \). La función nunca toma valores negativos ni alcanza el cero.

3. **Intercepto con el eje \(y\):** Cuando \(x = 0\), \( f(0) = 2^0 = 1 \). Por lo tanto, el intercepto es en el punto \((0, 1)\).

4. **Intercepto con el eje \(x\):** La función exponencial \( f(x) = 2^x \) no corta el eje \(x\) porque nunca es igual a cero.

5. **Intervalos de crecimiento o decrecimiento:**
   - La función \( f(x) = 2^x \) es creciente en todo su dominio \( (-\infty, \infty) \), ya que la base 2 es mayor que 1.

6. **Asíntota horizontal:** La función tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \) porque a medida que \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 0 \).

7. **Tabla de valores:** Aquí hay una tabla de valores para ayudar a visualizar la función:

   \[
   \begin{array}{|c|c|}
   \hline
   x & f(x) = 2^x \\
   \hline
   -2 & \frac{1}{4} \\
   -1 & \frac{1}{2} \\
   0 & 1 \\
   1 & 2 \\
   2 & 4 \\
   \hline
   \end{array}
   \]

### Ejemplo de Función Logarítmica: \( g(x) = \log_2(x) \)

1. **Dominio:** El dominio de la función \( g(x) = \log_2(x) \) es \( (0, \infty) \) porque el logaritmo de un número no positivo no está definido en el conjunto de los números reales.

2. **Rango:** El rango de la función \( g(x) = \log_2(x) \) es \( (-\infty, \infty) \). La función puede tomar cualquier valor real.

3. **Intercepto con el eje \(y\):** La función no tiene intercepto con el eje \(y\) porque su dominio no incluye \(x = 0\).

4. **Intercepto con el eje \(x\):** Cuando \(x = 1\), \( g(1) = \log_2(1) = 0 \). Por lo tanto, el intercepto con el eje \(x\) es en el punto \((1, 0)\).

5. **Intervalos de crecimiento o decrecimiento:**
   - La función \( g(x) = \log_2(x) \) es creciente en su dominio \( (0, \infty) \), ya que la base 2 es mayor que 1.

6. **Asíntota vertical:** La función tiene una asíntota vertical en \( x = 0 \) porque a medida que \( x \to 0^+ \), \( g(x) \to -\infty \).

7. **Tabla de valores:** Aquí hay una tabla de valores para visualizar la función:

   \[
   \begin{array}{|c|c|}
   \hline
   x & g(x) = \log_2(x) \\
   \hline
   0.25 & -2 \\
   0.5 & -1 \\
   1 & 0 \\
   2 & 1 \\
   4 & 2 \\
   \hline
   \end{array}
   \]

### Gráficas:

Para visualizar mejor las funciones, normalmente se trazarían las gráficas con la ayuda de una calculadora gráfica o un software de matemática como Desmos, GeoGebra, o Python. Aquí hay una descripción de cómo se verían las gráficas:

- La gráfica de \( f(x) = 2^x \) es una curva suave que pasa por el punto \((0,1)\), crece rápidamente hacia la derecha y se acerca a \(y = 0\) cuando \(x\) es muy negativo.
- La gráfica de \( g(x) = \log_2(x) \) pasa por \((1,0)\), crece lentamente a medida que \(x\) aumenta y baja abruptamente a medida que \(x\) se acerca a cero desde la derecha.

### Conclusiones y Observaciones:

- Las funciones exponenciales de la forma \( a^x \) (con \(a > 1\)) siempre son crecientes y tienen una asíntota horizontal en \(y = 0\).
- Las funciones logarítmicas de la forma \( \log_a(x) \) (con \(a > 1\)) son crecientes en su dominio y tienen una asíntota vertical en \(x = 0\).

---

¿Te gustaría obtener más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos ejemplos?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se comporta la función \( f(x) = a^x \) cuando \( 0 < a < 1 \)?
2. ¿Qué ocurre con el rango de una función logarítmica si la base es menor que 1?
3. ¿Cómo se determinan las asíntotas de una función exponencial con transformación vertical?
4. ¿Cuál es la relación entre las funciones \( f(x) = 2^x \) y \( g(x) = \log_2(x) \)?
5. ¿Cómo afectan las transformaciones \( y = a \cdot 2^{bx + c} + d \) al gráfico de \( f(x) = 2^x \)?

### Consejo:

Cuando traces gráficas de funciones exponenciales o logarítmicas, asegúrate de identificar claramente las asíntotas y los interceptos para entender mejor el comportamiento a medida que \(x\) tiende hacia valores extremos.

Learn how to trace graphs of exponential and logarithmic functions, determining their domain, range, growth intervals, intercepts, and asymptotes. Detailed examples provided with step-by-step analysis.

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