Sei A=Q∩[0,1]⊂R. Zeigen Sie: 
i) A ist bezüglich der diskreten Metrik abgeschlossen.
ii) A ist bezüglich der Standardmetrik auf R nicht abgeschlossen.

Um die beiden Aussagen zu zeigen, müssen wir zunächst die relevanten Begriffe verstehen und dann die entsprechenden Eigenschaften von \( A \) untersuchen.

### Teil i) \( A \) ist bezüglich der diskreten Metrik abgeschlossen.

Die **diskrete Metrik** \( d \) auf einer Menge \( X \) ist definiert durch:
\[ d(x,y) = \begin{cases} 
0 & \text{wenn } x = y \\
1 & \text{wenn } x \ne y 
\end{cases} \]

Eine Menge \( A \subset X \) ist abgeschlossen, wenn sie alle ihre Grenzpunkte enthält. In der diskreten Metrik ist jeder Punkt ein isolierter Punkt, d.h. jede einpunktige Menge ist offen. Daraus folgt, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn sie auch offen ist.

Sei \( A = \mathbb{Q} \cap [0,1] \subset \mathbb{R} \).

In der diskreten Metrik ist jede einpunktige Menge \( \{q\} \) (mit \( q \in \mathbb{Q} \cap [0,1] \)) offen, und damit ist auch jede endliche oder unendliche Vereinigung solcher einpunktigen Mengen offen. Das bedeutet:
\[ A = \bigcup_{q \in A} \{q\} \]

Da \( A \) als Vereinigung offener Mengen offen ist und jede Teilmenge von \( \mathbb{R} \) in der diskreten Metrik sowohl offen als auch abgeschlossen ist, folgt:
\[ A \text{ ist bezüglich der diskreten Metrik abgeschlossen.} \]

### Teil ii) \( A \) ist bezüglich der Standardmetrik auf \( \mathbb{R} \) nicht abgeschlossen.

Die **Standardmetrik** auf \( \mathbb{R} \) ist die übliche euklidische Metrik \( d(x,y) = |x - y| \).

Eine Menge \( A \subset \mathbb{R} \) ist in der Standardmetrik abgeschlossen, wenn sie alle ihre Grenzpunkte enthält.

Sei \( A = \mathbb{Q} \cap [0,1] \). Da \( \mathbb{Q} \cap [0,1] \subset \mathbb{R} \) eine Teilmenge der rationalen Zahlen in \([0,1]\) ist, und die rationalen Zahlen dicht in \( \mathbb{R} \) liegen, bedeutet dies, dass jeder Punkt in \([0,1]\) ein Grenzpunkt von \( A \) ist.

Insbesondere sind auch irrationale Zahlen in \([0,1]\) Grenzpunkte von \( A \). Da irrationale Zahlen nicht in \( A \) enthalten sind, enthält \( A \) nicht alle seine Grenzpunkte. Daher ist \( A \) bezüglich der Standardmetrik nicht abgeschlossen.

Zusammenfassend haben wir gezeigt:
1. \( A \) ist bezüglich der diskreten Metrik abgeschlossen.
2. \( A \) ist bezüglich der Standardmetrik auf \( \mathbb{R} \) nicht abgeschlossen.

Möchten Sie weitere Details zu einem der Teile oder haben Sie noch Fragen? Hier sind einige Fragen, die Sie stellen könnten:

1. Können Sie die Definition der diskreten Metrik genauer erklären?
2. Was bedeutet es für eine Menge, abgeschlossen zu sein?
3. Warum sind die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen?
4. Können Sie Beispiele für abgeschlossene und nicht abgeschlossene Mengen in \(\mathbb{R}\) geben?
5. Was ist ein Grenzpunkt einer Menge?

**Tipp:** Wenn Sie eine Menge in einer bestimmten Metrik untersuchen, stellen Sie sicher, dass Sie die Definition dieser Metrik gut verstehen, da dies entscheidend für die Analyse der topologischen Eigenschaften der Menge ist.

Explore the properties of subset A = Q ∩ [0,1] in metric spaces. Understand why A is closed under the discrete metric and not closed under the standard metric on R. Detailed explanations and examples provided.

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