Seien (X,d_X),(Y,d_Y) metrische Räume und f: X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie jeweils durch ein Gegenbeispiel mit Begründung, dass die folgenden Aussagen falsch sind:
i) Ist für jede offene Menge A ⊂ X das Bild f(A) ⊂ Y offen, so ist f stetig. 
(Hinweis: Versuchen Sie X=R mit Standardmetrik und Y={0,1} mit der diskreten Metrik)
ii) Ist f stetig, so ist für jede abgeschlossene Menge A ⊂ X das Bild f(A) ⊂ Y abgeschlossen. 
(Hinweis: Versuchen Sie X=Y=R mit Standardmetrik)

Um die beiden Aussagen zu widerlegen, verwenden wir jeweils ein konkretes Gegenbeispiel.

### i) Aussage: Ist für jede offene Menge \( A \subset X \) das Bild \( f(A) \subset Y \) offen, so ist \( f \) stetig.

#### Gegenbeispiel:
Wir setzen \( X = \mathbb{R} \) mit der Standardmetrik und \( Y = \{0,1\} \) mit der diskreten Metrik. Betrachten wir die Abbildung \( f: \mathbb{R} \to Y \), definiert durch:

\[
f(x) = \begin{cases} 
0, & \text{wenn } x \leq 0, \\
1, & \text{wenn } x > 0.
\end{cases}
\]

**Überprüfung der Offenheit des Bildes**:
- Nehmen wir eine offene Menge \( A \subset \mathbb{R} \). Wenn \( A \) ganz auf einer Seite von 0 liegt, dann ist \( f(A) \) entweder \( \{0\} \) oder \( \{1\} \), die in der diskreten Metrik jeweils offen sind. Wenn \( A \) beide Seiten von 0 enthält, dann ist \( f(A) = \{0,1\} \), was in der diskreten Metrik auch offen ist. Daher ist \( f(A) \) für jede offene Menge \( A \subset \mathbb{R} \) offen in \( Y \).

**Stetigkeit**:
- \( f \) ist nicht stetig bei \( x = 0 \). In der Tat, wenn man \( x_n \to 0 \) (z.B. \( x_n = \frac{1}{n} \) für \( n > 0 \)), dann konvergiert \( f(x_n) = 1 \) nicht gegen \( f(0) = 0 \). Dies zeigt, dass \( f \) nicht stetig ist.

**Schlussfolgerung**: Die Abbildung \( f \) ist ein Beispiel dafür, dass das Bild jeder offenen Menge offen ist, aber \( f \) ist nicht stetig. Daher ist die Aussage falsch.

### ii) Aussage: Ist \( f \) stetig, so ist für jede abgeschlossene Menge \( A \subset X \) das Bild \( f(A) \subset Y \) abgeschlossen.

#### Gegenbeispiel:
Wir setzen \( X = Y = \mathbb{R} \) mit der Standardmetrik und betrachten die Abbildung \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definiert durch:

\[
f(x) = \begin{cases} 
x, & \text{wenn } x \in \mathbb{Q}, \\
0, & \text{wenn } x \notin \mathbb{Q}.
\end{cases}
\]

**Stetigkeit**:
- Die Funktion \( f \) ist stetig. Dies liegt daran, dass \( f \) in jeder Umgebung von jedem Punkt \( x \) nur die Werte \( x \) (wenn \( x \in \mathbb{Q} \)) und \( 0 \) annimmt, was keine abrupte Änderung bedeutet und daher \( f \) stetig ist.

**Abgeschlossenheit des Bildes**:
- Betrachten wir die abgeschlossene Menge \( A = \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \). Das Bild ist \( f(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q} \), welches nicht abgeschlossen ist, da es seine Häufungspunkte (alle irrationalen Zahlen) nicht enthält. Das Bild von \( A \) unter \( f \) ist daher nicht abgeschlossen, obwohl \( A \) abgeschlossen ist.

**Schlussfolgerung**: Dieses Beispiel zeigt, dass \( f \) stetig sein kann, aber das Bild einer abgeschlossenen Menge nicht unbedingt abgeschlossen sein muss. Daher ist auch diese Aussage falsch.

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Hier sind einige verwandte Fragen:

1. Wie definiert man die Stetigkeit einer Funktion formal?
2. Was bedeutet es, dass eine Menge in einem metrischen Raum abgeschlossen ist?
3. Kann eine Funktion stetig sein, wenn das Bild offener Mengen nicht immer offen ist?
4. Was sind Beispiele von stetigen, aber nicht offenen Funktionen?
5. Welche Rolle spielt die Metrik bei der Offenheit und Abgeschlossenheit von Mengen?
6. Kann die Umkehrung einer stetigen Funktion ebenfalls stetig sein?
7. Wie beeinflusst die Wahl der Metrik die Stetigkeit einer Funktion?
8. Welche anderen Eigenschaften können durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden?

**Tipp**: Beim Arbeiten mit metrischen Räumen ist es oft hilfreich, explizite Beispiele für die beteiligten Räume und Funktionen zu konstruieren, um abstrakte Konzepte greifbarer zu machen.

Explore counterexamples in metric spaces to disprove false statements about continuity and closedness of function mappings between metric spaces. Detailed examples include mappings between real numbers with standard and discrete metrics.

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