Argumente si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados:
a) R2
en R2
b) {(x, y) ∈ R2

| 0 < x ≤ 1} en R2

c) {(x, y) ∈ R2

| x = 0, 0 < y < 1} en R2

d) {x ∈ R2

| ||x|| = 1} en R2

Para determinar si los conjuntos dados son abiertos o cerrados en \(\mathbb{R}^2\), es necesario revisar las definiciones de conjuntos abiertos y cerrados en un espacio métrico como \(\mathbb{R}^2\).

1. **Conjunto abierto en \(\mathbb{R}^2\):** Un conjunto \(A\) en \(\mathbb{R}^2\) es abierto si para cada punto \((x, y) \in A\) existe un entorno (un círculo con radio \(r > 0\)) completamente contenido dentro de \(A\).
2. **Conjunto cerrado en \(\mathbb{R}^2\):** Un conjunto \(A\) en \(\mathbb{R}^2\) es cerrado si contiene todos sus puntos límite, es decir, si contiene todos los puntos de acumulación o frontera.

### a) \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^2\)

**Análisis:**

El conjunto \(\mathbb{R}^2\) incluye todos los puntos del plano. Dado que cualquier punto en \(\mathbb{R}^2\) tiene un entorno que está completamente contenido en \(\mathbb{R}^2\), este conjunto es abierto.

Además, \(\mathbb{R}^2\) también contiene todos sus puntos límite, ya que no hay puntos fuera de \(\mathbb{R}^2\). Por lo tanto, también es cerrado.

**Conclusión:**
\(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^2\) es **abierto y cerrado**.

### b) \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 < x \leq 1\}\) en \(\mathbb{R}^2\)

**Análisis:**

Este conjunto incluye todos los puntos en \(\mathbb{R}^2\) donde \(0 < x \leq 1\). Sin embargo, el límite inferior \(x = 0\) no está incluido, pero el límite superior \(x = 1\) sí lo está.

- **Abierto:** No es abierto porque los puntos en la línea \(x = 1\) no tienen un entorno completamente contenido en el conjunto. Por ejemplo, un punto como \((1, y)\) tiene puntos vecinos con \(x > 1\) que no pertenecen al conjunto.
  
- **Cerrado:** No es cerrado porque no incluye el punto límite \(x = 0\).

**Conclusión:**
El conjunto \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 < x \leq 1\}\) en \(\mathbb{R}^2\) es **ni abierto ni cerrado**.

### c) \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0, 0 < y < 1\}\) en \(\mathbb{R}^2\)

**Análisis:**

Este conjunto es una línea vertical en \(x = 0\) que incluye puntos con \(0 < y < 1\). 

- **Abierto:** No es abierto porque cualquier punto \((0, y)\) en este conjunto no tiene un entorno en \(\mathbb{R}^2\) completamente contenido en el conjunto (cualquier entorno incluiría puntos con \(x \neq 0\), que no están en el conjunto).
  
- **Cerrado:** No es cerrado porque no incluye los puntos límite en \(y = 0\) y \(y = 1\), donde \(y\) se acerca al límite superior e inferior del intervalo \(0 < y < 1\).

**Conclusión:**
El conjunto \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0, 0 < y < 1\}\) en \(\mathbb{R}^2\) es **ni abierto ni cerrado**.

### d) \(\{x \in \mathbb{R}^2 \mid \|x\| = 1\}\) en \(\mathbb{R}^2\)

**Análisis:**

Este conjunto es el círculo en \(\mathbb{R}^2\) con radio 1 centrado en el origen.

- **Abierto:** No es abierto porque ningún punto en este conjunto tiene un entorno completamente contenido dentro del conjunto (cualquier entorno incluiría puntos con \(\|x\| \neq 1\)).
  
- **Cerrado:** Es cerrado porque contiene todos sus puntos límite. Los puntos en el círculo están completamente contenidos en el conjunto, y no hay puntos de acumulación fuera del círculo.

**Conclusión:**
El conjunto \(\{x \in \mathbb{R}^2 \mid \|x\| = 1\}\) en \(\mathbb{R}^2\) es **cerrado**.

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¿Quieres detalles adicionales sobre algún punto o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se define el interior de un conjunto en un espacio métrico?
2. ¿Qué significa que un conjunto sea ni abierto ni cerrado?
3. ¿Cómo se determina la frontera de un conjunto en \(\mathbb{R}^2\)?
4. ¿Existen conjuntos que sean a la vez abiertos y cerrados en espacios distintos de \(\mathbb{R}^2\)?
5. ¿Qué ejemplos de conjuntos que son solo cerrados o solo abiertos puedes proporcionar en \(\mathbb{R}^2\)?

**Tip:** Para probar si un conjunto es cerrado, puedes verificar si el complemento del conjunto es abierto.

Understand the concepts of open and closed sets in the metric space R^2. Analyze various sets including R^2 itself, vertical lines, horizontal intervals, and circles. Learn about the conditions for a set to be open or closed and explore examples and counterexamples in R^2. Suitable for university-level students and anyone interested in topology and metric spaces.

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