Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x^2 = y+2; y^2 = z+2 ; z^2 = x+2. CMR: x+y+z nhận giá trị nguyên

Để chứng minh \( x + y + z \) nhận giá trị nguyên, ta bắt đầu từ các phương trình đã cho:

\[
x^2 = y + 2, \quad y^2 = z + 2, \quad z^2 = x + 2.
\]

### Bước 1: Tổng các phương trình

Cộng các phương trình lại với nhau:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = (y + 2) + (z + 2) + (x + 2).
\]

Ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 6.
\]

Viết lại phương trình:

\[
x^2 + y^2 + z^2 - (x + y + z) = 6.
\]

### Bước 2: Đặt ẩn phụ

Đặt \( S = x + y + z \). Phương trình trở thành:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = S + 6.
\]

Chúng ta biết từ công thức khai triển rằng:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = S^2 - 2(xy + yz + zx).
\]

Do đó, ta có:

\[
S^2 - 2(xy + yz + zx) = S + 6.
\]

### Bước 3: Giải phương trình bậc hai

Phương trình này là một phương trình bậc hai ẩn \( S \). Để tiếp tục, ta xem xét khả năng \( x = y = z \). Khi đó, từ các phương trình ban đầu, ta có:

\[
x^2 = x + 2.
\]

Giải phương trình này:

\[
x^2 - x - 2 = 0.
\]

Phương trình này có nghiệm:

\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
\]

Do đó, \( x = 2 \) hoặc \( x = -1 \).

### Bước 4: Kết luận

- Nếu \( x = 2 \), thì \( y = 2 \) và \( z = 2 \), do đó \( S = 2 + 2 + 2 = 6 \).
- Nếu \( x = -1 \), thì \( y = -1 \) và \( z = -1 \), do đó \( S = -1 - 1 - 1 = -3 \).

Vì vậy, tổng \( x + y + z \) có thể nhận giá trị \( 6 \) hoặc \( -3 \), cả hai đều là số nguyên.

### Kết luận:

\( x + y + z \) luôn nhận giá trị nguyên. 

---

Bạn có muốn giải thích chi tiết thêm hay có câu hỏi nào không?

**Câu hỏi mở rộng:**

1. Làm sao để giải các phương trình với nhiều biến như trong bài toán này?
2. Tại sao phải cộng các phương trình để tìm ra tổng \( S \)?
3. Các cách khác để biến đổi phương trình bậc hai nhằm tìm nghiệm nhanh hơn?
4. Khi nào thì giả định các biến bằng nhau giúp đơn giản hóa vấn đề?
5. Có thể tìm thêm giá trị nào khác cho \( x, y, z \) không?

**Mẹo**: Khi giải hệ phương trình đối xứng, giả sử các biến bằng nhau có thể là một cách hiệu quả để rút ngắn quá trình giải.

Explore how to solve symmetric equations x^2 = y + 2, y^2 = z + 2, z^2 = x + 2 with detailed step-by-step solutions and explanations. Understand the relationships between variables and how to determine integer values for x + y + z. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation