1) Soit f la fonction trinôme définie sur R par : f (x) = 3x2 - 12x + 19
a) Déterminer la forme canonique de la fonction f.
b) Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant f
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f .
d) Au vu de ce tableau, la représentation de la fonction f coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
Justifier.
2) Soit la fonction trinôme définie sur R par : 9(x) =-2x2 - 7x + 15
a) Déterminer les racines de g (x).
b) En déduire une factorisation de g (x).
c) L'équation g (x) = —70 admet-elle des solutions ? Si oui lesquelles.
d) Même question avec g (x) = 25

### 1) Soit \( f \) la fonction trinôme définie par : \( f(x) = 3x^2 - 12x + 19 \)

#### a) Déterminer la forme canonique de la fonction \( f \)

La forme canonique d'une fonction trinôme \( f(x) = ax^2 + bx + c \) est donnée par :  
\[ f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \]

Pour trouver cette forme, nous devons déterminer les paramètres \( \alpha \) et \( \beta \).

1. **Calcul de \( \alpha \)** :  
\[ \alpha = \frac{-b}{2a} \]  
Dans notre cas : \( a = 3 \), \( b = -12 \) et \( c = 19 \).  
\[ \alpha = \frac{-(-12)}{2 \times 3} = \frac{12}{6} = 2 \]

2. **Calcul de \( \beta \)** :  
\[ \beta = f(\alpha) = f(2) \]  
\[ f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 19 = 3 \times 4 - 24 + 19 = 12 - 24 + 19 = 7 \]

Donc, la forme canonique est :  
\[ f(x) = 3(x - 2)^2 + 7 \]

---

#### b) Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant \( f \)

Les coordonnées du sommet de la parabole sont \( (\alpha, \beta) \).  
D'après ce que nous avons calculé précédemment, \( \alpha = 2 \) et \( \beta = 7 \).  
Donc, les coordonnées du sommet sont :  
\[ S(2, 7) \]

---

#### c) Dresser le tableau de variation de la fonction \( f \)

La fonction \( f(x) = 3(x - 2)^2 + 7 \) est une parabole avec un coefficient directeur positif (car \( a = 3 > 0 \)), ce qui signifie que la parabole est ouverte vers le haut.

- Lorsque \( x \to -\infty \), \( f(x) \to +\infty \)
- Le minimum de \( f(x) \) est atteint au sommet \( x = 2 \), avec \( f(2) = 7 \).
- Ensuite, lorsque \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).

| \( x \)  | \( -\infty \) |   2   | \( +\infty \) |
|:--------:|:-------------:|:-----:|:-------------:|
| \( f(x) \)| \( +\infty \) |   7   | \( +\infty \) |

La fonction est décroissante sur l'intervalle \( ]-\infty, 2] \) et croissante sur \( [2, +\infty[ \).

---

#### d) La représentation de la fonction \( f \) coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Pour savoir si la courbe coupe l'axe des abscisses, il faut vérifier si l'équation \( f(x) = 0 \) admet des solutions réelles. Cette équation revient à résoudre :  
\[ 3x^2 - 12x + 19 = 0 \]

Le discriminant \( \Delta \) est donné par :  
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \times 3 \times 19 = 144 - 228 = -84 \]

Le discriminant étant négatif (\( \Delta = -84 \)), l'équation n'a pas de solutions réelles. Par conséquent, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

---

### 2) Soit la fonction trinôme définie par : \( g(x) = -2x^2 - 7x + 15 \)

#### a) Déterminer les racines de \( g(x) \)

Pour déterminer les racines de \( g(x) = -2x^2 - 7x + 15 \), nous résolvons l'équation \( g(x) = 0 \).

Le discriminant \( \Delta \) est :  
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times (-2) \times 15 = 49 + 120 = 169 \]

Le discriminant étant positif, il existe deux racines réelles, données par :  
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \times (-2)} = \frac{7 - 13}{-4} = \frac{-6}{-4} = 1.5 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 + 13}{-4} = \frac{20}{-4} = -5 \]

Les racines sont donc \( x_1 = 1.5 \) et \( x_2 = -5 \).

---

#### b) En déduire une factorisation de \( g(x) \)

La factorisation de \( g(x) \) est :  
\[ g(x) = -2(x - 1.5)(x + 5) \]

---

#### c) L'équation \( g(x) = -70 \) admet-elle des solutions ? Si oui, lesquelles ?

Nous devons résoudre \( -2x^2 - 7x + 15 = -70 \), c'est-à-dire :  
\[ -2x^2 - 7x + 85 = 0 \]

Le discriminant \( \Delta \) de cette équation est :  
\[ \Delta = (-7)^2 - 4 \times (-2) \times 85 = 49 + 680 = 729 \]

Le discriminant est positif (\( \Delta = 729 \)), donc il existe deux solutions réelles :  
\[ x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{729}}{2 \times (-2)} = \frac{7 - 27}{-4} = \frac{-20}{-4} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{7 + 27}{-4} = \frac{34}{-4} = -8.5 \]

Les solutions de \( g(x) = -70 \) sont donc \( x_1 = 5 \) et \( x_2 = -8.5 \).

---

#### d) Même question avec \( g(x) = 25 \)

Nous devons résoudre \( -2x^2 - 7x + 15 = 25 \), soit :  
\[ -2x^2 - 7x - 10 = 0 \]

Le discriminant est :  
\[ \Delta = (-7)^2 - 4 \times (-2) \times (-10) = 49 - 80 = -31 \]

Le discriminant étant négatif (\( \Delta = -31 \)), l'équation n'a pas de solutions réelles. Donc, l'équation \( g(x) = 25 \) n'a pas de solution.

---

### Questions supplémentaires :
1. Comment pouvons-nous interpréter géométriquement le discriminant d'une équation quadratique ?
2. Quels sont les effets de la valeur de \( a \) sur la forme de la parabole ?
3. Comment résoudre une équation quadratique sans utiliser le discriminant ?
4. Que signifie une racine double pour une fonction trinôme ?
5. Quelle est la différence entre une factorisation et une résolution d'équation quadratique ?

**Tip**: Le discriminant d'un trinôme détermine le nombre et la nature des solutions. Un discriminant négatif indique qu'il n'y a pas de solutions réelles.

1) Soit f la fonction trinôme définie sur R par : f(x) = 3x^2 - 12x + 19
a) Déterminer la forme canonique de la fonction f.
b) Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant f
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
d) Au vu de ce tableau, la représentation de la fonction f coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Justifier.
2) Soit la fonction trinôme définie sur R par : g(x) = -2x^2 - 7x + 15
a) Déterminer les racines de g(x).
b) En déduire une factorisation de g(x).
c) L'équation g(x) = -70 admet-elle des solutions ? Si oui lesquelles.
d) Même question avec g(x) = 25.

Learn how to solve quadratic functions like f(x) = 3x^2 - 12x + 19 and g(x) = -2x^2 - 7x + 15. This tutorial covers finding canonical forms, determining parabola vertices, calculating discriminants, and solving quadratic equations for real roots. Suitable for Grades 10-12.

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