Para resolver el ejercicio con la función cuadrática:

\[ f(x) = -x^2 + 10x \]

Vamos a abordar cada uno de los apartados solicitados:

### a. Expresar la función cuadrática en la forma estándar

La forma estándar de una función cuadrática es:

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Donde \((h, k)\) es el vértice de la parábola.

Primero, completamos el cuadrado para expresar la función en la forma estándar.

\[ f(x) = -(x^2 - 10x) \]

Ahora completamos el cuadrado dentro del paréntesis:

1. Tomamos el coeficiente de \(x\), que es \(-10\), lo dividimos entre 2 y luego lo elevamos al cuadrado:
   \[
   \left(\frac{-10}{2}\right)^2 = (-5)^2 = 25
   \]

2. Añadimos y restamos 25 dentro del paréntesis:
   \[
   f(x) = -\left(x^2 - 10x + 25 - 25\right)
   \]
   \[
   f(x) = -\left((x - 5)^2 - 25\right)
   \]

3. Simplificamos:
   \[
   f(x) = -(x - 5)^2 + 25
   \]

Entonces, la forma estándar es:

\[ f(x) = -(x - 5)^2 + 25 \]

### b. Hallar el vértice y los interceptos en \(x\) y \(y\)

- **Vértice**: De la forma estándar, sabemos que el vértice está en \((h, k)\), donde \(h = 5\) y \(k = 25\). Entonces, el vértice es:
  \[
  V(5, 25)
  \]

- **Intercepto en \(y\)**: Para encontrar el intercepto en \(y\), evaluamos la función en \(x = 0\):
  \[
  f(0) = -0^2 + 10(0) = 0
  \]
  El intercepto en \(y\) es \( (0, 0) \).

- **Interceptos en \(x\)**: Para encontrar los interceptos en \(x\), resolvemos \(f(x) = 0\):
  \[
  -x^2 + 10x = 0
  \]
  Factorizamos:
  \[
  -x(x - 10) = 0
  \]
  Esto nos da dos soluciones:
  \[
  x = 0 \quad \text{y} \quad x = 10
  \]
  Entonces, los interceptos en \(x\) son \( (0, 0) \) y \( (10, 0) \).

### c. Hallar el valor máximo o mínimo

Dado que la parábola abre hacia abajo (porque \(a = -1 < 0\)), tiene un **máximo** en el vértice. El valor máximo es el valor de \(f(x)\) en el vértice:

\[
\text{Valor máximo} = f(5) = 25
\]

### d. Bosquejar su gráfica

La gráfica es una parábola que tiene su vértice en \((5, 25)\), interceptos en \(x\) en \((0, 0)\) y \((10, 0)\), y un intercepto en \(y\) en \((0, 0)\). La parábola abre hacia abajo, con su punto más alto en el vértice.

### ¿Quieres los detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si una parábola abre hacia arriba o hacia abajo?
2. ¿Qué es el discriminante de una ecuación cuadrática y cómo se usa?
3. ¿Cómo se calculan los puntos de intersección con los ejes?
4. ¿Qué representa el valor de \(h\) y \(k\) en la forma estándar de la función cuadrática?
5. ¿Qué significan los valores máximos y mínimos en el contexto de una parábola?

### Tip:
Recuerda que el signo del coeficiente \(a\) en la función cuadrática determina la dirección de apertura de la parábola: si es positivo, abre hacia arriba; si es negativo, abre hacia abajo.

Explore how to solve the quadratic function f(x) = -x^2 + 10x step-by-step. Learn about vertex form, intercepts, maximum value, and graphing techniques. Suitable for high school students studying quadratic equations.

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