Dé una solución que esté entre [π2,3π2]
 de la ecuación trigonométrica cos(3x)sin(x)−sin(3x)cos(x)=1
. 

Exprese su respuesta en grados.

La ecuación trigonométrica que tenemos es:

\[
\cos(3x)\sin(x) - \sin(3x)\cos(x) = 1
\]

Podemos simplificar esta ecuación utilizando la identidad del seno de la suma:

\[
\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)
\]

En este caso, podemos ver que la ecuación dada se parece a esta identidad si tomamos \( A = 3x \) y \( B = x \):

\[
\sin(3x - x) = \sin(2x)
\]

Entonces, la ecuación se simplifica a:

\[
\sin(2x) = 1
\]

### 1. Encontrar soluciones para \( \sin(2x) = 1 \)

Sabemos que \( \sin(\theta) = 1 \) cuando \( \theta = 90^\circ + 360^\circ \cdot n \), donde \( n \) es un entero. Entonces:

\[
2x = 90^\circ + 360^\circ \cdot n
\]

Dividimos por 2 para obtener \( x \):

\[
x = 45^\circ + 180^\circ \cdot n
\]

### 2. Identificar la solución en el intervalo \([ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} ]\)

Primero, convertimos el intervalo dado en grados:

\[
\frac{\pi}{2} = 90^\circ \quad \text{y} \quad \frac{3\pi}{2} = 270^\circ
\]

Queremos encontrar una solución para \( x \) en el intervalo \( [90^\circ, 270^\circ] \).

Analizamos las posibles soluciones:

\[
x = 45^\circ + 180^\circ \cdot n
\]

Para \( n = 1 \):

\[
x = 45^\circ + 180^\circ \times 1 = 225^\circ
\]

### Respuesta final:

La solución \( x = 225^\circ \) está en el intervalo \( [90^\circ, 270^\circ] \).

Por lo tanto, la solución es \( \boxed{225^\circ} \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se convierte un ángulo de radianes a grados?
2. ¿Por qué es útil la identidad trigonométrica del seno de la suma?
3. ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación trigonométrica en un intervalo dado?
4. ¿Cómo se utilizan las identidades trigonométricas en la simplificación de ecuaciones?
5. ¿Qué otras identidades trigonométricas pueden simplificar ecuaciones similares?

**Tip:** Siempre convierte tu respuesta a la unidad que te piden (grados o radianes) al final del problema para asegurarte de que respondes correctamente.

Explore how to solve the trigonometric equation cos(3x)sin(x) - sin(3x)cos(x) = 1 step-by-step with detailed explanations. This problem involves using trigonometric identities and solving equations in the interval [π/2, 3π/2] converted to degrees. Suitable for advanced high school students and anyone interested in trigonometry problem-solving.

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