si x ∈ [ π/6;5π/6] y sen(x)=(1-n)/3 caalcule la suma de los valores enteros de n

Dado que \( x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right] \) y \( \sin(x) = \frac{1 - n}{3} \), necesitamos encontrar los valores de \( n \) para los cuales la expresión es válida y luego sumar los valores enteros de \( n \).

### Paso 1: Determinar el rango de \( \sin(x) \) en \( \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right] \)
En el intervalo \( \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right] \), el valor mínimo de \( \sin(x) \) ocurre en \( x = \frac{\pi}{6} \) y el valor máximo en \( x = \frac{5\pi}{6} \). Evaluamos:

\[
\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}
\]
\[
\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}
\]

Por lo tanto, el rango de \( \sin(x) \) en este intervalo es \( \left[\frac{1}{2}, 1\right] \).

### Paso 2: Expresar \( \sin(x) \) en términos de \( n \)
Dado que \( \sin(x) = \frac{1 - n}{3} \), el rango de \( \sin(x) \) nos da:

\[
\frac{1}{2} \leq \frac{1 - n}{3} \leq 1
\]

### Paso 3: Resolver para \( n \)
Multiplicamos toda la desigualdad por 3:

\[
\frac{3}{2} \leq 1 - n \leq 3
\]

Restamos 1 en toda la desigualdad:

\[
\frac{1}{2} \leq -n \leq 2
\]

Multiplicamos toda la desigualdad por -1 y cambiamos los signos de las desigualdades:

\[
-2 \leq n \leq -\frac{1}{2}
\]

### Paso 4: Encontrar los valores enteros de \( n \)
Los valores enteros de \( n \) que satisfacen la desigualdad son \( n = -2 \) y \( n = -1 \).

### Paso 5: Sumar los valores enteros de \( n \)
Sumamos los valores enteros obtenidos:
\[
\text{Suma} = -2 + (-1) = -3
\]

### Respuesta final:
La suma de los valores enteros de \( n \) es \( -3 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se determinan los intervalos de las funciones trigonométricas?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver desigualdades?
3. ¿Cómo afecta el intervalo dado a la solución de \( n \)?
4. ¿Cómo graficar el rango de \( \sin(x) \) para verificar las soluciones?
5. ¿Qué ocurre si el intervalo de \( x \) cambia?

**Tip:** Recuerda siempre verificar el rango de valores de las funciones trigonométricas cuando resuelvas ecuaciones o desigualdades con restricciones.

Learn how to solve the equation sin(x) = (1-n)/3 for n in the interval [π/6, 5π/6]. This problem involves trigonometric functions and inequalities, with detailed steps and solutions provided.

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