4. Diketahui \[ \begin{array}{l} 2X _{1}+ 3X _{2}+ 6X _{3}= 2 \\ 1X _{1}+ 0X _{2}+ 1X _{3}= 0 \\ 0X _{1}+ 6X _{2}+ 0X _{3}= 6 \\ 1X _{1}+ 2X _{2}+ 0X _{3}= 0 \end{array} \] Tentukan solusi dari fungsi linier non homogen tersebut. 

Untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linier non homogen yang diberikan, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss atau metode matriks. Mari kita tuliskan sistem persamaan dalam bentuk matriks augmented:

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
1 & 0 & 1 & | & 0 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
1 & 2 & 0 & | & 0 
\end{pmatrix} \]

Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah sebagai berikut:

1. Ubah matriks augmented ke dalam bentuk eselon baris (row echelon form).

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
1 & 0 & 1 & | & 0 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
1 & 2 & 0 & | & 0 
\end{pmatrix} \]

Langkah 1: Eliminasi elemen di bawah elemen pivot pertama (baris pertama, kolom pertama).
- Baris 2 dikurangi \(\frac{1}{2}\) kali baris 1:

\[ R2 \leftarrow R2 - \frac{1}{2} R1 \]

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
0 & -1.5 & -2 & | & -1 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
1 & 2 & 0 & | & 0 
\end{pmatrix} \]

- Baris 4 dikurangi \(\frac{1}{2}\) kali baris 1:

\[ R4 \leftarrow R4 - \frac{1}{2} R1 \]

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
0 & -1.5 & -2 & | & -1 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
0 & 0.5 & -3 & | & -1 
\end{pmatrix} \]

Langkah 2: Tukar baris kedua dengan baris ketiga untuk memudahkan eliminasi lebih lanjut.

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
0 & -1.5 & -2 & | & -1 \\
0 & 0.5 & -3 & | & -1 
\end{pmatrix} \]

Langkah 3: Eliminasi elemen di bawah elemen pivot kedua (baris kedua, kolom kedua).
- Baris 3 ditambah \(\frac{1}{4}\) kali baris 2:

\[ R3 \leftarrow R3 + \frac{1}{4} R2 \]

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
0 & 0 & -2 & | & 0.5 \\
0 & 0.5 & -3 & | & -1 
\end{pmatrix} \]

- Baris 4 dikurangi \(\frac{1}{12}\) kali baris 2:

\[ R4 \leftarrow R4 - \frac{1}{12} R2 \]

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
0 & 0 & -2 & | & 0.5 \\
0 & 0 & -3 & | & -1.5 
\end{pmatrix} \]

Langkah 4: Eliminasi elemen di bawah elemen pivot ketiga (baris ketiga, kolom ketiga).
- Baris 4 dikurangi \(\frac{3}{2}\) kali baris 3:

\[ R4 \leftarrow R4 - \frac{3}{2} R3 \]

\[ \begin{pmatrix}
2 & 3 & 6 & | & 2 \\
0 & 6 & 0 & | & 6 \\
0 & 0 & -2 & | & 0.5 \\
0 & 0 & 0 & | & -1.75 
\end{pmatrix} \]

Langkah 5: Bawa sistem persamaan kembali ke bentuk persamaan linier.

\[ \begin{array}{l}
2X_1 + 3X_2 + 6X_3 = 2 \\
6X_2 = 6 \\
-2X_3 = 0.5 \\
0 = -1.75 \\
\end{array} \]

Dari baris terakhir, kita mendapatkan persamaan \(0 = -1.75\), yang merupakan kontradiksi. Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan ini tidak memiliki solusi yang konsisten (tidak ada solusi).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 8 pertanyaan terkait:
1. Apa itu metode eliminasi Gauss?
2. Bagaimana cara mengubah matriks augmented ke bentuk eselon baris?
3. Apa perbedaan antara sistem persamaan linier homogen dan non-homogen?
4. Kapan suatu sistem persamaan linier tidak memiliki solusi?
5. Bagaimana cara menggunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier?
6. Apa yang dimaksud dengan matriks singular?
7. Bagaimana cara menentukan apakah suatu sistem persamaan memiliki solusi unik atau banyak solusi?
8. Apa peran determinan dalam menentukan solusi sistem persamaan linier?

**Tip**: Saat menghadapi sistem persamaan linier, selalu periksa apakah sistem tersebut konsisten (memiliki solusi) atau tidak dengan mencari kontradiksi dalam persamaan yang disederhanakan.

Learn how to solve a system of non-homogeneous linear equations using Gaussian elimination with a detailed step-by-step approach. This problem involves matrix operations and the application of Gaussian elimination to find consistent solutions. Suitable for advanced mathematics students and those interested in linear algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation