resolver metodo gauss

7x + 3y - 4z = -35
3x - 2y + 5z = 38
x + y - 6z = -27



Para resolver el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss (también conocido como eliminación gaussiana), seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Escribir el sistema en forma de matriz aumentada
Primero, escribimos las ecuaciones en forma de matriz aumentada:

\[
\begin{pmatrix}
7 & 3 & -4 & \vert & -35 \\
3 & -2 & 5 & \vert & 38 \\
1 & 1 & -6 & \vert & -27
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Convertir la matriz aumentada en forma escalonada

**Primera columna:**
- Hacemos que el primer elemento de la primera columna sea 1 (si es necesario) intercambiando filas o dividiendo por un escalar. En este caso, podemos dejar el primer elemento de la primera columna como está.
- Eliminamos los elementos debajo del pivote en la primera columna.

Multiplicamos la primera fila por \(\frac{1}{7}\) y restamos \(\frac{3}{7}\) veces la primera fila de la segunda fila:

\[
R_2 \rightarrow R_2 - \frac{3}{7} R_1
\]

\[
\begin{pmatrix}
7 & 3 & -4 & \vert & -35 \\
0 & -\frac{23}{7} & \frac{41}{7} & \vert & \frac{253}{7} \\
1 & 1 & -6 & \vert & -27
\end{pmatrix}
\]

Restamos la primera fila de la tercera fila:

\[
R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{7} R_1
\]

\[
\begin{pmatrix}
7 & 3 & -4 & \vert & -35 \\
0 & -\frac{23}{7} & \frac{41}{7} & \vert & \frac{253}{7} \\
0 & \frac{4}{7} & -\frac{38}{7} & \vert & -\frac{224}{7}
\end{pmatrix}
\]

**Segunda columna:**
- Nos aseguramos de que el pivote en la segunda columna sea 1 dividiendo la segunda fila por \(-\frac{23}{7}\):

\[
R_2 \rightarrow \frac{7}{-23} R_2
\]

\[
\begin{pmatrix}
7 & 3 & -4 & \vert & -35 \\
0 & 1 & -\frac{41}{23} & \vert & -11 \\
0 & \frac{4}{7} & -\frac{38}{7} & \vert & -\frac{224}{7}
\end{pmatrix}
\]

Luego, eliminamos el elemento en la tercera fila en la segunda columna restando \(\frac{4}{7}\) veces la segunda fila de la tercera fila:

\[
R_3 \rightarrow R_3 - \frac{4}{7} R_2
\]

\[
\begin{pmatrix}
7 & 3 & -4 & \vert & -35 \\
0 & 1 & -\frac{41}{23} & \vert & -11 \\
0 & 0 & -2 & \vert & 2
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Resolver el sistema triangular
Ahora que tenemos la matriz en forma escalonada, podemos resolver el sistema empezando por la última fila hacia arriba:

1. De la tercera fila: \(-2z = 2\)  ⟹  \(z = -1\)
2. Sustituimos \(z = -1\) en la segunda fila: \(y - \frac{41}{23}(-1) = -11\)  ⟹  \(y = -\frac{8}{23}\)
3. Sustituimos \(y = -\frac{8}{23}\) y \(z = -1\) en la primera fila: \(7x + 3(-\frac{8}{23}) - 4(-1) = -35\)  ⟹  \(x = -5\)

### Solución Final
La solución del sistema de ecuaciones es:

\[
x = -5, \quad y = -\frac{8}{23}, \quad z = -1
\]

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué es el método de Gauss-Jordan y cómo se diferencia del método de Gauss?
2. ¿Cómo se interpreta la matriz escalonada reducida?
3. ¿Cuáles son las ventajas del método de eliminación gaussiana?
4. ¿Cómo afecta la elección de la fila pivote a la estabilidad numérica?
5. ¿Qué hacer si encontramos una fila con todos ceros en la matriz aumentada?

**Tip:** El método de Gauss es muy útil para sistemas lineales con muchas variables, ya que convierte un sistema complejo en uno mucho más manejable paso a paso.

Learn how to solve a system of linear equations using the Gaussian elimination method with a step-by-step solution. This problem covers systems of linear equations, Gaussian elimination technique, and matrix operations. Suitable for students in Grades 10-12.

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