Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana.
$$ \begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
2 & 4 & 2 \\
-1 & 2 & 7 
\end{bmatrix}  $$

veja que as duas primeiras colunas trazem coeficientes do sistema e a terceira coluna traz os resultados de cada equação.

Para resolver o sistema usando o método de eliminação gaussiana, organizamos a matriz aumentada correspondente ao sistema e realizamos operações para obter uma matriz triangular superior. A matriz fornecida é:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
2 & 4 & 2 \\
-1 & 2 & 7 
\end{bmatrix}
\]

### Passo 1: Montagem da Matriz Aumentada

A matriz aumentada é dada diretamente pela matriz fornecida:

\[
\text{Matriz Aumentada} = \begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
2 & 4 & 2 \\
-1 & 2 & 7 
\end{bmatrix}
\]

### Passo 2: Eliminação Gaussiana

**Objetivo:** Transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior.

#### Operação na Linha 2 (L2):
Vamos zerar o primeiro elemento da segunda linha. Para isso, subtraímos $2$ vezes a Linha 1 da Linha 2:

\[
L2 \rightarrow L2 - 2L1
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
2 - 2(1) & 4 - 2(6) & 2 - 2(9) \\
-1 & 2 & 7 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
0 & -8 & -16 \\
-1 & 2 & 7 
\end{bmatrix}
\]

#### Operação na Linha 3 (L3):
Agora, vamos zerar o primeiro elemento da terceira linha. Para isso, somamos $1$ vez a Linha 1 à Linha 3:

\[
L3 \rightarrow L3 + L1
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
0 & -8 & -16 \\
-1 + 1(1) & 2 + 6(1) & 7 + 9(1) 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
0 & -8 & -16 \\
0 & 8 & 16 
\end{bmatrix}
\]

### Passo 3: Escalonamento

Para transformar a matriz em uma matriz escalonada, vamos dividir a Linha 2 por $-8$:

\[
L2 \rightarrow \frac{L2}{-8}
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 8 & 16 
\end{bmatrix}
\]

Agora, subtraímos $8$ vezes a Linha 2 da Linha 3 para zerar o elemento abaixo do pivô:

\[
L3 \rightarrow L3 - 8L2
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 9 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
\]

### Passo 4: Resolução do Sistema

Com a matriz triangular superior, podemos resolver o sistema:

\[
\begin{aligned}
1x_1 + 6x_2 &= 9, \\
1x_2 &= 2, \\
0 &= 0.
\end{aligned}
\]

A última equação $0 = 0$ indica que o sistema tem uma solução infinita, ou seja, há múltiplas soluções. 

Podemos expressar $x_2$ diretamente:
\[
x_2 = 2
\]

Substituindo $x_2 = 2$ na primeira equação:

\[
x_1 + 6(2) = 9 \implies x_1 + 12 = 9 \implies x_1 = -3
\]

### Solução do Sistema

A solução geral é:
\[
x_1 = -3 \quad \text{e} \quad x_2 = 2.
\]

Como há uma equação redundante, isso confirma que o sistema é dependente e tem soluções múltiplas. As soluções estão na forma $ x_1 = -3 $ e $ x_2 = 2 $.

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como identificar um sistema linear dependente usando a eliminação gaussiana?
2. O que significa uma linha de zeros em uma matriz aumentada?
3. Como a matriz aumentada representa o sistema linear?
4. Como se lida com sistemas incompatíveis na eliminação gaussiana?
5. Como podemos determinar se um sistema possui infinitas soluções usando eliminação gaussiana?
6. O que acontece se a matriz não pode ser transformada em uma forma triangular superior?
7. Quais são os passos críticos para evitar erros ao realizar a eliminação gaussiana?
8. Como interpretar a solução de um sistema linear com uma linha nula na matriz aumentada?

### Dica:
Sempre verifique a consistência das equações após realizar operações de linha, pois isso pode revelar se o sistema é inconsistente ou tem soluções múltiplas.

Learn how to solve a system of equations using Gaussian elimination method step-by-step. This problem involves linear algebra concepts and matrix operations. Suitable for college-level students studying linear algebra.

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