次の方程式を解け。
(1) x
3 + 8 = 0
(2) x
4 − 4 = 0
(3) x
4 + 7x
2 − 8 = 0
(4) x
6 − 64 = 0

それぞれの方程式を順番に解いていきます。

### (1) \( x^3 + 8 = 0 \)

まず、方程式を整理します：

\[
x^3 = -8
\]

ここで、両辺の立方根を取ります。

\[
x = \sqrt[3]{-8} = -2
\]

したがって、解は：

\[
x = -2
\]

### (2) \( x^4 - 4 = 0 \)

方程式を整理します：

\[
x^4 = 4
\]

ここで、両辺の4乗根を取ります。これは、\( x^2 = \pm \sqrt{4} \)と解釈できます。

\[
x^2 = 2 \quad \text{または} \quad x^2 = -2
\]

\( x^2 = 2 \)の場合、\( x \)は正負の平方根を持つので：

\[
x = \pm \sqrt{2}
\]

\( x^2 = -2 \)の場合、解は虚数となり：

\[
x = \pm \sqrt{-2} = \pm \sqrt{2}i
\]

したがって、この方程式の解は：

\[
x = \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{2}i
\]

### (3) \( x^4 + 7x^2 - 8 = 0 \)

ここでは、\( y = x^2 \)と置き換えて、二次方程式の形にします。

\[
y^2 + 7y - 8 = 0
\]

この二次方程式を解くために、解の公式を用います。

\[
y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 + 4 \times 1 \times 8}}{2 \times 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2}
\]

これにより、2つの解が得られます：

\[
y = 1 \quad \text{または} \quad y = -8
\]

\( y = x^2 \)に戻すと、

- \( y = 1 \)の場合、\( x = \pm 1 \)
- \( y = -8 \)の場合、\( x^2 = -8 \)であり、\( x = \pm \sqrt{8}i = \pm 2\sqrt{2}i \)

したがって、解は：

\[
x = \pm 1, \pm 2\sqrt{2}i
\]

### (4) \( x^6 - 64 = 0 \)

方程式を整理します：

\[
x^6 = 64
\]

両辺の6乗根を取ります。これは複素数の解を含むため、複素数の極形式を用いることができます。\( 64 = 2^6 \)なので、

\[
x = 2e^{i\frac{\theta}{6}} \quad (\theta = 2n\pi \text{ for } n = 0, 1, 2, 3, 4, 5)
\]

実数解を考えると、

\[
x = 2, -2
\]

複素数解を含めたすべての解は次のようになります：

\[
x = 2, -2, 2e^{i\frac{\pi}{3}}, 2e^{i\frac{2\pi}{3}}, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}, 2e^{i\frac{5\pi}{3}}
\]

したがって、解は6つ存在します。

---

**質問やさらに詳しい解説が必要ですか？**

**関連する問題:**
1. 方程式の解において、複素数解を考慮する場合の注意点は何ですか？
2. 高次方程式の解を求める際に、因数分解を行う方法を説明してください。
3. 虚数単位 \( i \) の性質を活用した問題を解く練習問題を提示してください。
4. 方程式の解が実数解と複素数解に分かれる場合、その違いは何ですか？
5. 極形式を用いた複素数の表現方法について詳しく説明してください。

**Tip:** 高次方程式を解くとき、実数解と虚数解の両方を考慮する必要があります。特に、虚数解は方程式の性質により異なる場合があるので、注意が必要です。

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