https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1724667463217v8afl5t7.jpg

Voi rezolva fiecare dintre exercițiile din imagine în limba română.

### 1. Arătați că numărul \( n = \log_2(\sqrt{7 - 2}) + \log_2(\sqrt{7 + 2}) \) este natural.

Folosim proprietatea logaritmilor: \(\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(x \cdot y)\).

\[
n = \log_2(\sqrt{7 - 2}) + \log_2(\sqrt{7 + 2}) = \log_2(\sqrt{7 - 2} \cdot \sqrt{7 + 2})
\]
\[
n = \log_2(\sqrt{(7 - 2)(7 + 2)}) = \log_2(\sqrt{7^2 - 2^2}) = \log_2(\sqrt{49 - 4}) = \log_2(\sqrt{45})
\]
\[
n = \log_2(\sqrt{45}) = \log_2(3\sqrt{5})
\]

Observăm că \( 3\sqrt{5} \) nu este o putere a lui 2, deci \( n \) nu poate fi un număr natural. Cred că enunțul ar trebui să fie verificat deoarece rezultatul nu este natural.

### 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x - 1 \) și \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = x^2 + 6x + 3 \).

Pentru a găsi punctul de intersecție, egalăm funcțiile:

\[
2x - 1 = x^2 + 6x + 3
\]
\[
0 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
0 = (x + 2)^2
\]

Rezolvând, obținem \( x = -2 \).

Pentru a găsi \( y \), substituim \( x \) în oricare dintre funcții:

\[
f(-2) = 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5
\]

Deci punctul de intersecție este \( (-2, -5) \).

### 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( (x + 2)^3 = (2 - x)^3 \).

Presupunem că \( (x + 2) = -(2 - x) \):

\[
x + 2 = 2 - x
\]
\[
2x = 0
\]
\[
x = 0
\]

Verificăm dacă \( x = 0 \) satisface ecuația inițială:

\[
(0 + 2)^3 = 2^3 = 8
\]
\[
(2 - 0)^3 = 2^3 = 8
\]

Deci \( x = 0 \) este soluția.

### 4. Calculați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele ale mulțimii \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\).

Primul loc trebuie să fie ocupat de un număr diferit de 0. Avem 4 opțiuni pentru prima cifră și 4 opțiuni pentru a doua cifră (deoarece trebuie să fie distinctă).

Numărul total de astfel de numere este:

\[
4 \times 4 = 16
\]

### 5. Punctele \( M \), \( N \) și \( P \) verifică relația \( 2\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{BN} = 0 \). Calculați lungimea segmentului \( MP \), știind că \( MN = 3 \).

Folosind relația vectorială:

\[
\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M}
\]

Nu avem suficiente informații pentru a determina exact lungimea \( MP \) fără coordonatele exacte ale punctelor \( M \) și \( P \). Poate fi nevoie de mai multe date.

### 6. Arătați că \( \sin x + \sin(x + y) + \sin(x - y) + \sin(2\pi - x) = 0 \), pentru orice număr real \( x \).

Folosind identitățile trigonometric:

\[
\sin(2\pi - x) = -\sin(x)
\]

Ecuația devine:

\[
\sin(x) - \sin(x) + \sin(x + y) + \sin(x - y) = 0
\]
\[
\sin(x + y) + \sin(x - y) = 0
\]

Dar, identitatea:

\[
\sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin x \cos y
\]

Este corect doar dacă \( y = \frac{\pi}{2} \) sau similar.

Acestea sunt soluțiile pentru exerciții. Doriți mai multe detalii sau aveți întrebări?

**Întrebări relevante:**

1. Cum ar afecta folosirea altor metode de rezolvare pentru exercițiile propuse?
2. Care sunt alte posibile forme de exprimare a logaritmilor ce ar putea simplifica problema 1?
3. Cum s-ar rezolva ecuația cubică din problema 3 într-un alt sistem de numerație?
4. Ce metode alternative ar putea fi folosite pentru a determina punctele de intersecție ale graficelor din problema 2?
5. Ce s-ar schimba dacă am considera că valorile numerelor din problema 4 nu sunt distincte?

**Tip:** Verificarea corectitudinii enunțului și a ipotezelor inițiale este crucială în rezolvarea corectă a problemelor matematice.

Explore detailed solutions to mathematical problems involving logarithms, quadratic equations, and trigonometry. Solve for natural number conditions, intersection points of functions, real number equations, and more. Suitable for high school students and enthusiasts of advanced mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation