Vamos resolver esses exercícios um por um:

### 1. Determine \( m \in \mathbb{R} \) de modo que o polinômio \( p(x) = (m^2 - 2)x^4 + 6x^3 - 4x + 2 \) tenha grau 4.

**Solução:**  
O grau de um polinômio é determinado pela maior potência de \( x \) com coeficiente diferente de zero. Aqui, o termo com a maior potência é \( x^4 \) com o coeficiente \( (m^2 - 2) \).

Para garantir que o polinômio tenha grau 4, o coeficiente de \( x^4 \) deve ser diferente de zero:

\[
m^2 - 2 \neq 0
\]

Resolvendo para \( m \):

\[
m^2 \neq 2 \quad \Rightarrow \quad m \neq \pm\sqrt{2}
\]

Portanto, \( m \) deve ser qualquer número real, exceto \( \pm\sqrt{2} \).

### 2. Para quais valores reais de \( k \) a expressão polinomial \( (2k^2 - 8)x^3 - 2x^2 + 5x - 1 \) tem grau 2?

**Solução:**  
Para que o polinômio tenha grau 2, o coeficiente do termo \( x^3 \) deve ser zero:

\[
2k^2 - 8 = 0
\]

Resolvendo para \( k \):

\[
2k^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad k^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad k = \pm 2
\]

Portanto, o polinômio tem grau 2 quando \( k = \pm 2 \).

### 3. O polinômio \( p(x) = ax + (b - 2) \) é nulo. Quais são os valores de \( a \) e \( b \)?

**Solução:**  
Para que o polinômio seja nulo para todo \( x \):

\[
ax + (b - 2) = 0
\]

Isso implica:

- O coeficiente de \( x \), \( a \), deve ser 0.
- O termo constante \( b - 2 \) também deve ser 0.

Então,

\[
a = 0 \quad \text{e} \quad b - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 2
\]

Portanto, \( a = 0 \) e \( b = 2 \).

### 4. Determine os valores de \( a, b, c, d \) de modo que o polinômio \( (a - 1)x^3 + (2a - b)x^2 + (b - c)x + (c - 2d) \) seja nulo.

**Solução:**  
Para que o polinômio seja nulo para todo \( x \):

1. \( a - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \)
2. \( 2a - b = 0 \quad \Rightarrow \quad 2(1) - b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 2 \)
3. \( b - c = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 - c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 2 \)
4. \( c - 2d = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 - 2d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 1 \)

Portanto, \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \) e \( d = 1 \).

### 5. Determine \( m \in \mathbb{R} \) de modo que \( -1 \) seja raiz do polinômio \( x^2 - 4x + (m + 4) \).

**Solução:**  
Se \( -1 \) é raiz do polinômio, então substituindo \( x = -1 \) no polinômio deve resultar em 0:

\[
(-1)^2 - 4(-1) + (m + 4) = 0
\]

Simplificando:

\[
1 + 4 + (m + 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 + m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = -9
\]

Portanto, \( m = -9 \).

---

Você precisa de mais detalhes sobre alguma das soluções ou tem alguma pergunta?

### Perguntas Relacionadas:

1. Como encontrar as raízes de um polinômio de grau 3?
2. Qual é a relação entre as raízes e os coeficientes de um polinômio quadrático?
3. Como determinar o grau de um polinômio dado em forma fatorada?
4. Um polinômio de grau 2 pode ter mais de 2 raízes? Por quê?
5. Qual é o efeito do coeficiente do termo de maior grau no gráfico do polinômio?
6. Como o discriminante pode ser usado para determinar a natureza das raízes de uma equação quadrática?
7. Quais são as propriedades de um polinômio com todos os coeficientes nulos, exceto o termo constante?
8. Como resolver um sistema de equações lineares derivado de condições polinomiais?

### Dica:
Ao resolver equações polinomiais, sempre verifique primeiro o termo de maior grau para determinar o grau geral e a natureza do polinômio.

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