https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1724411121617xdgsbm57.jpg

Let's go through the problems one by one and solve them.

---

### **1. Se consideră numerele complexe \( z_1 = 5 + 2i \) și \( z_2 = 3 - 3i \). Arătați că \( 3z_1 + 2z_2 = 21 \).**

**Rezolvare:**

- \( z_1 = 5 + 2i \)
- \( z_2 = 3 - 3i \)

Calculăm \( 3z_1 \) și \( 2z_2 \):

\[
3z_1 = 3 \times (5 + 2i) = 15 + 6i
\]
\[
2z_2 = 2 \times (3 - 3i) = 6 - 6i
\]

Adunăm \( 3z_1 \) și \( 2z_2 \):

\[
3z_1 + 2z_2 = (15 + 6i) + (6 - 6i) = 21
\]

Deci, \( 3z_1 + 2z_2 = 21 \), așa cum trebuia demonstrat.

---

### **2. Se consideră funcțiile \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x+3 \) și \( g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = x^2 + x + 2 \). Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor acestor două funcții.**

**Rezolvare:**

Pentru a găsi punctul de intersecție, trebuie să egalăm funcțiile \( f(x) \) și \( g(x) \):

\[
f(x) = g(x)
\]
\[
x + 3 = x^2 + x + 2
\]

Simplificăm ecuația:

\[
x + 3 - x - 2 = x^2
\]
\[
1 = x^2
\]

Rezolvăm pentru \( x \):

\[
x^2 = 1
\]
\[
x = \pm 1
\]

Deci, abscisele punctelor de intersecție sunt \( x = 1 \) și \( x = -1 \).

---

### **3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( 3^{x^2} = 3^{3x} \).**

**Rezolvare:**

Din moment ce avem aceeași bază la ambele părți ale ecuației, putem egala exponenții:

\[
x^2 = 3x
\]

Aceasta este o ecuație de gradul doi. Rescriem:

\[
x^2 - 3x = 0
\]

Factorizăm:

\[
x(x - 3) = 0
\]

Rezolvăm pentru \( x \):

\[
x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 3
\]

Deci soluțiile sunt \( x = 0 \) și \( x = 3 \).

---

### **4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 5.**

**Rezolvare:**

Un număr natural de două cifre este între 10 și 99. Trebuie să găsim numerele divizibile cu 3 și 5. 

Un număr divizibil cu 3 și 5 trebuie să fie divizibil cu 15.

Numerele de două cifre divizibile cu 15 sunt: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

Numărul total de numere de două cifre: 

\[
99 - 10 + 1 = 90
\]

Numărul total de numere divizibile cu 15:

\[
\{15, 30, 45, 60, 75, 90\} \quad \text{(6 numere)}
\]

Probabilitatea:

\[
P = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}
\]

---

### **5. În reperul cartezian \( Oxy \) se consideră punctele \( A(1,2) \), \( B(2,4) \) și \( C(n,n) \), unde \( n \) este număr real. Determinați numărul real \( n \), știind că punctele \( A \), \( B \) și \( C \) sunt coliniare.**

**Rezolvare:**

Punctele \( A \), \( B \), și \( C \) sunt coliniare dacă determinantul format de coordonatele lor este zero:

\[
\text{Det} = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 1 \\
n & n & 1
\end{vmatrix} = 0
\]

Calculăm determinantul:

\[
\text{Det} = 1(4 - n) - 2(2 - n) + 1(2n - 4) = 0
\]
\[
\text{Det} = 4 - n - 4 + 2n + 2n - 4 = 0
\]
\[
3n - 4 = 0
\]
\[
n = \frac{4}{3}
\]

Deci, \( n = \frac{4}{3} \).

---

### **6. Calculați lungimea laturii \( BC \) a triunghiului \( ABC \), știind că \( AB = 4 \), \( AC = 8 \), și \( \angle BAC = \frac{\pi}{3} \).**

**Rezolvare:**

Aplicăm teorema cosinusului:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC)
\]

Substituim valorile:

\[
BC^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \times 4 \times 8 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
\]
\[
BC^2 = 16 + 64 - 2 \times 4 \times 8 \times \frac{1}{2}
\]
\[
BC^2 = 80 - 32 = 48
\]
\[
BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
\]

Deci, lungimea laturii \( BC \) este \( 4\sqrt{3} \).

---

**Would you like any more details or explanations for these solutions?**  

**Related Questions:**
1. What happens if the angle \(\angle BAC\) in problem 6 is changed?
2. How do you determine if three points are collinear using the slope formula?
3. What would be the result if the functions in problem 2 were \( f(x) = x^2 + 3 \) and \( g(x) = x + 2 \)?
4. What is the probability of selecting a two-digit number divisible by both 2 and 5?
5. How can the discriminant of a quadratic equation help determine the nature of its solutions?

**Tip:** When solving problems involving collinearity, always check the determinant or slope method, as both are efficient ways to verify the result.

Explore detailed solutions to complex number operations, function intersections, exponential equations, coordinate geometry, and trigonometry problems. Suitable for high school students, covering various mathematical concepts and formulas.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation