bestimme die Steigung der Tangente t der Funktion f(x) im angegeben Punkt P. f(x)=2x^3-6x+2 und P(-1/?)

Um die Steigung der Tangente \( t \) der Funktion \( f(x) = 2x^3 - 6x + 2 \) im Punkt \( P(-1, ?) \) zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:

### Schritt 1: Berechne die Ableitung von \( f(x) \)
Die Steigung der Tangente an einem Punkt entspricht dem Wert der Ableitung der Funktion \( f(x) \) an dieser Stelle.

Die Funktion lautet: 
\[ f(x) = 2x^3 - 6x + 2 \]

Die Ableitung von \( f(x) \) ist:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^3 - 6x + 2 \right) \]
Das ergibt:
\[
f'(x) = 6x^2 - 6
\]

### Schritt 2: Setze \( x = -1 \) in die Ableitung ein
Nun setzen wir \( x = -1 \) in die Ableitung ein, um die Steigung der Tangente an der Stelle \( x = -1 \) zu berechnen:
\[
f'(-1) = 6(-1)^2 - 6 = 6 \cdot 1 - 6 = 0
\]
Die Steigung der Tangente im Punkt \( P(-1, ?) \) ist also \( 0 \). Dies bedeutet, dass die Tangente an diesem Punkt horizontal verläuft.

### Schritt 3: Berechne den y-Wert des Punkts \( P(-1, ?) \)
Um den vollständigen Punkt \( P \) zu bestimmen, setzen wir \( x = -1 \) in die Funktionsgleichung \( f(x) \) ein:
\[
f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 2 = 2(-1) + 6 + 2 = -2 + 6 + 2 = 6
\]
Der Punkt \( P \) ist also \( P(-1, 6) \).

### Zusammenfassung
- Die Steigung der Tangente an der Funktion \( f(x) = 2x^3 - 6x + 2 \) im Punkt \( P(-1, 6) \) beträgt \( 0 \).
- Der Punkt \( P \) ist \( (-1, 6) \).

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**Verwandte Fragen:**

1. Wie wird die Ableitung einer Funktion berechnet?
2. Was bedeutet es, wenn die Steigung der Tangente null ist?
3. Wie kann man die Gleichung der Tangente bestimmen, wenn die Steigung gegeben ist?
4. Was ist der Unterschied zwischen einer Sekante und einer Tangente?
5. Wie beeinflusst die Ableitung höherer Ordnung die Form einer Funktion?

**Tipp:** Die Ableitung gibt nicht nur die Steigung einer Funktion an einem Punkt an, sondern kann auch verwendet werden, um Extrempunkte und Wendepunkte zu finden.

Learn how to find the slope of the tangent line for the cubic function f(x) = 2x^3 - 6x + 2 at the point P(-1, ?). This calculus problem explains how to take the derivative of a function and evaluate it at a specific point. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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